Rút gọn các biểu thức sau
a) sin4x+cos4x
b) sin4x-cos4x
Rút gọn biểu thức A= 2(sin4x+ cos4x + sin2x.cos2x)2 – sin8x – cos8x được kết quả
A. 0
B. 1
C. 3
D. 16
Rút gọn biểu thức C = 2( sin4x + cos4x + sin2x.cos2x) 2 - ( sin8x + cos8x)
A. cos x
B. sinx + cosx
C. 1
D. 2
Chọn C.
Ta có
C = [ ( sin2x + cos2x) – sin2cos2x]2 - [ ( sin4x + cos4x) 2 - 2sin4x.cos4x]
= 2[ 1-sin2x.cos2x]2 - [ ( sin2x + cos2x) 2 - 2sin2x.cos2x]2 + 2sin4x.cos4x
= 2[ 1-sin2x.cos2x]2 - [1-sin2x.cos2x]2 + 2sin4x.cos4x
= 2( 1 - 2sin2x.cos2x + sin4x.cos4x)- ( 1 - 4sin2xcos2x + 4sin4x.cos4x) + 2sin4x.cos4x
= 1.
Rút gọn biểu thức C = 2( sin4x + cos4x + sin2x.cos2x) 2 - ( sin8x + cos8x) có giá trị không đổi và bằng
A. 2
B. 4
C. 1
D. 0
Chọn C.
Ta có: C = 2( sin4x + cos4x + sin2x.cos2x) 2 - ( sin8x + cos8x)
= 2 [ (sin2x + cos2x) 2 - sin2x.cos2x]2 - [ (sin4x + cos4x)2 - 2sin4x.cos4x]
= 2[ 1 - sin2x.cos2x]2 - [ (sin2x+ cos2x) 2 - 2sin2x.cos2x]2 + 2sin4x.cos4x
= 2[ 1- sin2x.cos2x]2 - [ 1 - 2sin2x.cos2x]2 + 2sin4x.cos4x
= 2( 1 - 2sin2xcos2x+ sin4x.cos4x) –( 1- 4sin2xcos2x+ 4sin4xcos4x) + 2sin4x.cos4x
= 1.
rút gọn A= 2cos4xsin3x + cos4x/ -2sin4xsin3x- sin4x
\(=\dfrac{-cos4x\left(2sin3x+1\right)}{sin4x\left(2sin3x+1\right)}=-cot4x\)
Rút gọn các biểu thức sau:
D = \(\frac{1+sin2x+cos2x}{1+sin2x-cos2x}\)E = \(\frac{sin2x+2sin3x+sin4x}{cos3x+2cos4x-cos5x}\)F = \(\frac{sinx+sin4x+sin7x}{cosx+cos4x+cos7x}\)G = \(\frac{cos2x-sin4x-cos6x}{cos2x+sin4x-cos6x}\)\(D=\frac{1+sin2x+cos2x}{1+sin2x-cos2x}=\frac{1+2sinxcosx+2cos^2x-1}{1+2sinxcosx-1+2sin^2x}\)
\(D=\frac{cosx\left(sinx+cosx\right)}{sinx\left(sinx+cosx\right)}=cotx\)
\(F=\frac{sinx+sin4x+sin7x}{cosx+cos4x+cos7x}\)
\(F=\frac{2sin4xcos3x+sin4x}{2cos4xcos3x+cos4x}\)
\(F=\frac{2sin4x\left(cos3x+1\right)}{2cos4x\left(cos3x+1\right)}=tan4x\)
\(G=\frac{cos2x-sin4x-cos6x}{cos2x+sin4x-cos6x}=\frac{-2sin4xsin2x-sin4x}{-2sin4xsin2x+sin4x}\)
\(G=\frac{-sin4x\left(2sin2x+1\right)}{-sin4x\left(2sin2x-1\right)}=\frac{2sin2x+1}{2sin2x-1}\)
Rút gọn P=cos6x-cos4x-sinx/sin6x+sin4x+cosx
\(P=\dfrac{-2sin5x.sinx-sinx}{2sin5x.cosx+cosx}=\dfrac{-sinx\left(2sin5x+1\right)}{cosx\left(2sin5x+1\right)}=-tanx\)
Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a) sin4x + cos4x = 1 – 2sin2cos2x
b)
c)
a) \(sin^4x+cos^4x=\left(sin^2x\right)^2+\left(cos^2x\right)^2\)
\(=\left(sin^2x\right)^2+2sin^2xcos^2x+\left(cos^2x\right)^2-2sin^2xcos^2x\)
\(=\left(sin^2x+cos^2x\right)^2-2sin^2xcos^2x\)
\(=1-2sin^2xcos^2x\)
b) \(\dfrac{1+cotx}{1-cotx}=\dfrac{tanx.cotx+cotx}{tanx.cotx-cotx}\)
\(=\dfrac{cotx.\left(tanx+1\right)}{cotx.\left(tanx-1\right)}\)
\(=\dfrac{tanx+1}{tanx-1}\)
c) \(\dfrac{cosx+sinx}{cos^3x}=\dfrac{1}{cos^2x}+\dfrac{tanx}{cos^2x}\)
\(=1+tan^2x+tanx.\dfrac{1}{cos^2x}\)
\(=1+tan^2x+tanx.\left(1+tan^2x\right)\)
\(=1+tan^2x+tanx+tan^3x\)
\(=tan^3x+tan^2x+tanx+1\)
Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a) sin4x + cos4x = 1 – 2sin2cos2x
b)
c)
Lời giải:
a.
$\sin ^4x+\cos ^4x=(\sin ^2x+\cos ^2x)^2-2\sin ^2x\cos ^2x$
$=1-2\sin ^2x\cos ^2x$
b.
$\frac{1+\cot x}{1-\cot x}=\frac{1+\frac{\cos x}{\sin x}}{1-\frac{\cos x}{\sin x}}=\frac{\cos x+\sin x}{\sin x-\cos x}(1)$
$\frac{\tan x+1}{\tan x-1}=\frac{\frac{\sin x}{\cos x}+1}{\frac{\sin x}{\cos x}-1}=\frac{\cos x+\sin x}{\sin x-\cos x}(2)$
Từ $(1); (2)$ ta có đpcm
c.
$\frac{\cos x+\sin x}{\cos ^3x}=(1+\frac{\sin x}{\cos x}).\frac{1}{\cos ^2x}$
$=(1+\tan x).\frac{\sin ^2x+\cos ^2x}{\cos ^2x}$
$=(1+\tan x)(\tan ^2x+1)=\tan ^3x+\tan ^2x+\tan x+1$
Ta có đpcm.
Đạo hàm của hàm số y = cos6x + sin4x. cos2x + sin2x. cos4x + sin4x – sin2x bằng biểu thức nào sau đây?
A. - 6 cos 5 x sin x
B. 6 cos 5 x sin x
C. 6 sin 5 x cos x
D. 6 cos 5 x
Chọn A
y = cos6 x+ sin2xcos2x(sin2x + cos2x) + sin4x - sin2x
= cos6x + sin2x(1 - sin2x) + sin4x - sin2x = cos6x
Do đó : y' = -6cos5xsinx.
Giá trị của biểu thức A = sin4x + cos4x