Ta có:

∠ (BAD) + ∠ ∠ (ADC) = 180 0  (hai góc trong cùng phía bù nhau)

⇒  ∠ (ADC) =  180 0  -  ∠ (BAD) =  180 0  – α

∠ (CDF) =  ∠ (ADC) +  ∠ (ADF) =  180 0  - α 2 + 60 0 = 240 0 - α

Suy ra:  ∠ (CDF) =  ∠ (EAF)

Xét  ∆ AEF và ∆ DCF: AF = DF ( vì  ∆ ADF đều)

AE = DC (vì cùng bằng AB)

∠ (CDF) =  ∠ (EAF) (chứng minh trên)

Do đó:  ∆ AEF =  ∆ DCF (c.g.c) ⇒ EF = CF (1)

∠ (CBE) =  ∠ (ABC) + 60 0 = 180 0 - α + 60 0 = 240 0 - α

Xét ΔBCE và ΔDFC: BE = CD ( vì cùng bằng AB)

∠ (CBE) =  ∠ (CDF) = 240 0 - α

BC = DF (vì cùng bằng AD)

Do đó  ∆ BCE =  ∆ DFC (c.g.c) ⇒ CE = CF (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EF = CF = CE

Vậy  ∆  ECF đều.

Đặt độ dài cạnh AD là a, độ dài cạnh AB là b

Ta có: ABCD là hình bình hành nên:

\(AB=CD=b\) (hai cạnh bên) 

Mà: DCF là tam giác đều nên: 

\(CD=CF=DF=b\) (ba cạnh tam giác đều) 

Và: \(AD=BC=a\)

\(\Rightarrow BF=BC+CF=a+b\) (1)

Và: ΔADE là tam giác đều nên:

\(AD=DE=AE=a\) 

\(\Rightarrow BE=AB+AE=a+b\) (2) 

\(\Rightarrow EF=DE+DF=a+b\) (3) 

Từ (1) và (2) và (3)

\(\Rightarrow BE=BF=EF=a+b\)

Vậy ΔBEF là tam giác đều (đpcm) 

Bạn tự vẽ hình nhé!
Giải

a) Ta có:

\(\widehat{EAF}+\widehat{EAB}+\widehat{BAD}+\widehat{DAF}=360^0\)

\(\Rightarrow\widehat{EAF}+60^0+60^0+110^0=360^0\)

\(\Rightarrow\widehat{EAF}=130^o\)

b) Vì ABCD là hình bình hành nên:

\(\widehat{BAD}+\widehat{ADC}=180^o\)

\(110^o+\widehat{ADC}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ADC}=70^o\)

\(\Rightarrow\widehat{CDF}=\widehat{ADC}+\widehat{ADF}=70^o+60^o=130^o\)

Xét \(\Delta\)EAF và \(\Delta\)CDF có:\(\hept{\begin{cases}AE=DC\left(=AB\right)\\AF=DF\\\widehat{EAF}=\widehat{CDF}=130^o\end{cases}\Rightarrow\Delta EAF=\Delta CDF\left(cgc\right)}\)

c) Ta có: \(\Delta EAF=\Delta CDF\left(cmt\right)\Rightarrow EF=CF\)

Tương tự cũng có: \(\Delta CDF=\Delta EBC\left(cgc\right)\Rightarrow CF=EC\)

\(\Rightarrow\Delta\)EFC là tam giác đều (đpcm)