Cho x,y,z, t > 0 thỏa mãn xy + yz + zx + zt = 3. Tìm GTNN của Q = 5x2 +5y2 + 5z2 + t2
Cho x,y,z,t > 0 thỏa mãn xy + yz + zx + zt = 3. Tìm GTNN của \(Q=5x^2+5y^2+5z^2+t^2\)
Cho x,y,z>0 thỏa mãn xy + yz + zx = 5.
Tìm GTNN của biểu thức: \(T=3x^2+3y^2+z^2\)
Cho x, y, z>0 thỏa mãn x+y+z\(\ge\)3. Tìm GTNN của biểu thức
\(Q=\frac{x^3}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^3}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^3}{z+\sqrt{xy}}\)
\(Q=\Sigma\frac{x^4}{x^2+\sqrt{xy.zx}}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
cho x,y,z thỏa mãn xyz=1. tìm GTNN của \(T=\dfrac{xy}{z^2x+z^2y}+\dfrac{yz}{x^2y+x^2z}+\dfrac{zx}{y^2x+y^2z}\)
\(T=\dfrac{\left(xy\right)^2}{zx+zy}+\dfrac{\left(yz\right)^2}{xy+xz}+\dfrac{\left(zx\right)^2}{yx+yz}\ge\dfrac{xy+yz+zx}{2}\ge\dfrac{3}{2}\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}=\dfrac{3}{2}\)
1) Cho ba số x, y, z thỏa mãn:
xy + yz + zx = 8
x + y + z = 5
Tìm GTNN, GTLN của x.
2) Cho ba số x, y, z thỏa mãn:
xy + yz + zx = 1
\(x^2+y^2+z^2=2\)
Mình quên yêu cầu bài 2: Tìm GTNN GTLN của x.
yêu cầu bài 2 Tìm giá trị min max của x
cho x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=2019
tìm GTNN của biểu thức P=\(\frac{xy}{z}\)+ \(\frac{yz}{x}\)+\(\frac{zx}{y}\)
Áp dụng BĐT Cosi ta có: \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}\cdot\frac{yz}{x}}=2y\left(1\right)\)
Tương tự ta cũng có: \(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge2z\left(2\right);\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}\ge2x\)
Cộng (1),(2),(3) vế theo vế ta được;
\(2\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\right)\ge2\left(x+y+z\right)=2.2019=4038\)
\(\Rightarrow2P\ge4038\)
\(\Rightarrow P\ge2019\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 673
Vậy Pmin = 2019 khi x = y = z = 673
sửa dòng 2: \(\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}\ge2x\left(3\right)\)
Cho \(x,y,z,t>0\) thỏa mãn \(xyzt=1\)
Chứng minh \(\frac{1}{x^3\left(yz+zt+ty\right)}+\frac{1}{y^3\left(xz+zt+tx\right)}+\frac{1}{z^3\left(xy+yt+tx\right)}+\frac{1}{t^3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)\)
Ta đặt: \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c;\frac{1}{t}=d\) ( a, b, c, d >0 )
Khi đó ta cần chứng minh:
\(\frac{a^3}{\frac{1}{bc}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{db}}+\frac{b^3}{\frac{1}{ac}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{da}}+\frac{c^3}{\frac{1}{ab}+\frac{1}{bd}+\frac{1}{da}}+\frac{d^3}{\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}}\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c+d\right)\)
\(VT=\frac{a^3}{\frac{b+c+d}{bcd}}+\frac{b^3}{\frac{a+c+d}{acd}}+\frac{c^3}{\frac{a+b+d}{abd}}+\frac{d^3}{\frac{a+b+c}{abc}}\)
\(=\frac{a^3}{\frac{a\left(b+c+d\right)}{abcd}}+\frac{b^3}{\frac{b\left(a+c+d\right)}{abcd}}+\frac{c^3}{\frac{c\left(a+b+d\right)}{abcd}}+\frac{d^3}{\frac{d\left(a+b+c\right)}{abcd}}\)
\(=\frac{a^2}{b+c+d}+\frac{b^2}{a+c+d}+\frac{c^2}{a+b+d}+\frac{d^2}{a+b+c}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{3\left(a+b+c+d\right)}=\frac{a+b+c+d}{3}=VP\)
Vậy ta đã chứng minh được
\(\frac{a^3}{\frac{1}{bc}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{db}}+\frac{b^3}{\frac{1}{ac}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{da}}+\frac{c^3}{\frac{1}{ab}+\frac{1}{bd}+\frac{1}{da}}+\frac{d^3}{\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}}\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c+d\right)\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = d
Vậy :
\(\frac{1}{x^3\left(yz+zt+ty\right)}+\frac{1}{y^3\left(xz+zt+tx\right)}+\frac{1}{z^3\left(xy+yt+tx\right)}+\frac{1}{t^3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = t = 1
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x3 + y3 + z3 = 24. Tìm GTNN của biểu thức
\(M=\dfrac{xyz+2\left(x+y+z\right)^2}{xy+yz+zx}-\dfrac{8}{xy+yz+zx+1}\)
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x^3+y^3+z^3=24.Tìm GTNN cua biểu thức
P=\((xyz+2(x+y+z)^2)/(xy+yz+zx)-8/(xy+yz+zx+1)\)