Gọi \(M\left(0;m\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=\left(-1;m+2\right)\\\overrightarrow{AB}=\left(-5;7\right)\end{matrix}\right.\)

3 điểm M;A;B thẳng hàng khi:

\(\dfrac{-1}{-5}=\dfrac{m+2}{7}\Rightarrow m=-\dfrac{3}{5}\)

\(\Rightarrow M\left(0;-\dfrac{3}{5}\right)\)

Bài toán cơ bản: Cho hai điểm A; B và một đường thẳng d cố định, tìm điểm C thuộc d sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất hay cũng chính là tìm C sao cho \(AC+BC\) nhỏ nhất.

Nhận thấy \(y_A\) và \(y_B\) cùng dấu nên A và B nằm cùng 1 phía đối với trục hoành, M là điểm bất kì thuộc Ox

Gọi D là điểm đối xứng A qua Ox \(\Rightarrow D\left(2;3\right)\) và \(MA=MD\)

Trong tam giác DBM, theo BĐT tam giác ta luôn có:

\(AM+BM=MD+BM\ge BD\Rightarrow BM+MD\) nhỏ nhất khi M, B, D thẳng hàng hay M là giao điểm của BD và Ox

\(\overrightarrow{BD}=\left(-1;7\right)\Rightarrow\) đường thẳng BD nhận \(\overrightarrow{n}=\left(7;1\right)\) là 1 vtpt

Phương trình BD: \(7\left(x-3\right)+1\left(y+4\right)=0\Rightarrow7x+y-17=0\)

Tọa độ của M là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\7x+y-17=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{17}{7}\\y=0\end{matrix}\right.\)

Đáp án B.

Gọi I là trung điểm của AB thì I(–1;0;1). Ta có  A B = 2 2 . Suy ra mặt cầu (S) đường kính AB sẽ có tâm là I, bán kính   R = A B 2 = 2 .

Phương trình mặt cầu (S) là: x + 1 2 + y 2 + z − 1 2 = 2.  

Ta có C ∈ O x  nên C(x, 0) và  A C → = x − 1 ; − 3 B C → = x − 4 ; − 2 .

Do C A = C B ⇔ C A 2 = C B 2 .

⇔ x − 1 2 + − 3 2 = x − 4 2 + − 2 2 ⇔ x 2 − 2 x + ​ 1 + ​ 9 = x 2 − 8 x + ​ 16 + ​ 4 ⇔ 6 x = 10 ⇔ x = 5 3 ⇒ C 5 3 ; 0

Chọn B.