a) Xét \(\Delta FEC,\Delta ABC\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{C}:Chung\\\widehat{EFC}=\widehat{BAC}=90^o\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta FEC\sim\Delta ABC\left(g.g\right)\) (1)

Xét \(\Delta FBD,\Delta ABC\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{B}:chung\\\widehat{BFD}=\widehat{BAC}=90^o\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta FBD\sim\Delta ABC\left(g.g\right)\) (2)

Từ (1) và (2) => \(\Delta FEC\sim\Delta FBD\left(\sim\Delta ABC\right)\)

b) Xét \(\Delta AED,\Delta HAC\) có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{EAD}=\widehat{AHC}=90^o\\\widehat{ADE}=\widehat{HCA}\left(\Delta FEC\sim\Delta FBD\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AED\sim\Delta HAC\left(g.g\right)\)

a) Xét \(\Delta FEC\) vuông tại F và \(\Delta FBD\) vuông tại F ,có: \(\widehat{FEC}\)=\(\widehat{FBD}\)(cùng phụ \(\widehat{FCE}\))

\(\Rightarrow \Delta FEC \) đồng dạng với \(\Delta FBD\)(g.n)

b) Xét \(\Delta AED\) vuông tại A và \(\Delta HAC\) vuông tại H có: \(\widehat{ADE}=\widehat{HCA}\)(cùng phụ \(\widehat{ABC}\))

\(\Rightarrow \Delta AED \) đồng dạng với \(\Delta HAC\)(g.n)

c) Ta có \(\dfrac{FE}{FB}=\dfrac{FC}{FD}\)(\(\Delta FEC \) đồng dạng với \(\Delta FBD\))

Mà:\(FB=FC;FD=FE+ED\)

\(\Rightarrow \dfrac{EF}{FB}=\dfrac{FB}{FE+ED} \Rightarrow FB^2 =EF.(FE+ED)\)

\(\Rightarrow FB= \sqrt {4.(4+5)=6=FC} \Rightarrow BC= FB+FC=6+6=12cm\)

Xét \(\Delta ABC \) vuông tại A, có:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)(Áp dụng định lý Py-ta-go)

\(\Rightarrow 12^2 =6^2+AC^2 \Rightarrow AC=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt3(cm)\)

Xét \(\Delta CAH\) vuông tại H và \(\Delta CBA\) vuông tại A, có:\(\widehat{ECF}\) chung

\(\Rightarrow\)\(\Delta CAH\) vuông tại H đồng dạng \(\Delta CBA\) vuông tại A(g.n)

\(\Rightarrow \dfrac{CA}{CB}=\dfrac{AH}{BA}=k \Rightarrow \dfrac{6 \sqrt3}{12}=\dfrac{AH}{6} \Rightarrow AH= \dfrac{6 \sqrt{3.6}}{12}=3\sqrt3(cm)\)

Ta thấy

\(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)

\(\widehat{B}+\widehat{D}=90^o\)

=> \(\widehat{D}=\widehat{C}\)

Xét ΔFEC và ΔFBD có

\(\widehat{F}1=\widehat{F2}=90^o\)

\(\widehat{C}=\widehat{D}\) (cmt)

=> ΔFEC ∼ ΔFBD (đpcm)

b) Xét ΔAED và ΔHAC có

\(\widehat{DAE}=\widehat{AHC}=90^o\)

\(\widehat{D}=\widehat{C}\) (cmt)

=> ΔAED ∼ΔHAC (đpcm)

Bài 26 :                                             Bài giải

a. Do $AB\perp AC,HE\perp AB,HF\perp AC$

⇒ˆEAF=ˆAEH=ˆAFH=90o⇒EAF^=AEH^=AFH^=90o

$\to ◊AEHF$ là hình chữ nhật

$\to AH=EF$

Bài 27 :                                                                  Bài giải

Hình : 

Còn bài giải tham khảo : Câu hỏi của nguyễn nhật trang nhung - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Câu hỏi của nguyễn nhật trang nhung - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABC ta có:
BC² = AB² + AC² 
⇔ BC² = 15² + 20² = 625
⇔ B C = √ 625 = 25 cm
Δ ABC có BD là phân giác góc ABC ⇒ \(\dfrac{AD}{AB}\) = \(\dfrac{DC}{BC}\) 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DC }{BC}=\dfrac{AD+DC}{AB+BC}=\dfrac{20}{40}=\dfrac{1}{2}\) 
suy ra: \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{1}{2}\)⇒AD=7,5cm

Bài 7: Sửa đề; AB=12cm; BC=20cm

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=20^2-12^2=256\)

=>AC=16(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>\(BH\cdot20=12^2=144\)

=>BH=144/20=7,2(cm)

b: ΔAHC vuông tại H

=>\(AH^2+HC^2=AC^2\)

=>\(AH^2=AC^2-HC^2\left(1\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(HB\cdot HC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(HB\cdot HC=AC^2-HC^2\)

Bài 8:

a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=15^2-9^2=144\)

=>\(AC=\sqrt{144}=12\left(cm\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\)

=>\(BH\cdot15=9^2=81\)

=>BH=81/15=5,4(cm)

 b: Sửa đề: Kẻ tia phân giác AM của góc BAC. Tính diện tích tam giác ABM

Xét ΔABC có AM là phân giác

nên \(\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}\)

=>\(\dfrac{MC}{MB}=\dfrac{4}{3}\)

=>\(\dfrac{MC+MB}{MB}=\dfrac{4}{3}+1=\dfrac{7}{3}\)

=>\(\dfrac{BC}{MB}=\dfrac{7}{3}\)

=>\(\dfrac{MB}{BC}=\dfrac{3}{7}\)

=>\(\dfrac{S_{AMB}}{S_{ABC}}=\dfrac{3}{7}\)

=>\(S_{AMB}=\dfrac{3}{7}\cdot S_{ABC}=\dfrac{3}{7}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\dfrac{3}{14}\cdot9\cdot12\)

=>\(S_{AMB}=\dfrac{162}{7}\simeq23,1\left(cm^2\right)\)