Cho tam giác ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H
a) Chứng minh rằng bốn điểm A,D,H,E cùng nằm trên một đường tròn
b) Gọi M là tđ của BC.Chứng minh rằng ME là tiếp tuyến của đường tròn
Cho tam giác ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng bốn điểm A; D; H; E cùng nằm trên một đường tròn( gọi tâm của nó là O)
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh ME là tiếp tuyến đường tròn (O)
Cho tam giác $ABC$ có hai đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $H$.
a) Chứng minh bốn điểm $A$, $D$, $H$, $E$ cùng nằm trên một đường tròn.
b) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Chứng minh rằng $ME$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác $AEHD$.
a) Ta thấy tam giác AEH và ADH đều là các tam giác vuông chung cạnh huyền AH nên AEHD nội tiếp đường tròn đường kính AH.
b) Gọi O là trung điểm của AH và K là giao điểm của AH với BC. Do H là trực tâm nên ta có ngay AK là đường cao của tam giác ABC.
Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ta có:
^OEH=^OHE=^KHC; ^MEC=^MCE.
mà ^KHC+^MCE=90o.
Suy ra: ^OEH+^MEC=90o nên OE⊥EM hay ME tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHD.
a) Ta thấy tam giác AEH và ADH đều là các tam giác vuông chung cạnh huyền AH nên AEHD nội tiếp đường tròn đường kính AH.
b) Gọi O là trung điểm của AH và K là giao điểm của AH với BC. Do H là trực tâm nên ta có ngay AK là đường cao của tam giác ABC.
Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ta có:
; .
mà .
Suy ra: nên hay ME tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHD.
Cho tam giác ABC có hai đường cao BD va CE căt nhau tại H
a, Chứng minh bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên một đường tròn
b, Gọi (O) là đường tròn đi qua bốn điểm A, D, H, E và M là trung điểm của BC. Chứng minh ME là tiếp tuyên của (O)
a, Gọi O là trung điểm của AH thì OE = OA = OH = OD
b, HS tự làm
Cho tam giác ABC đều, hai đường cao BD và CE cắt nhau ở H, AH cắt BC tại M
a) chứng minh 4 điểm A,D,H,E cùng thuộc một đường tròn
b) chứng minh MD là tiếp tuyến của đường tròn đi qua bốn điểm A,D,H,E
a: Xét tứ giác ADHE có
\(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)
=>ADHE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH
b: Gọi O là trung điểm của AH
ADHE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH
=>ADHE nội tiếp (O)
Xét ΔABC có
BD,CE là các đường cao
BD cắt CE tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH vuông góc BC tại M
ΔABC cân tại A
mà AM là đường cao
nên M là trung điểm của BC
Xét ΔEBC vuông tại E và ΔDCB vuông tại D có
BC chung
\(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)
Do đó: ΔEBC=ΔDCB
Xét tứ giác BEHM có
\(\widehat{BEH}+\widehat{BMH}=180^0\)
=>BEHM là tứ giác nội tiếp
\(\widehat{OEM}=\widehat{OEH}+\widehat{MEH}\)
\(=\widehat{OHE}+\widehat{MBD}\)
\(=\widehat{MHC}+\widehat{MBD}=90^0-\widehat{MCH}+\widehat{MBD}=90^0\)
=>EM là tiếp tuyến của (O)
Cho tam giác ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
a, Chứng minh 4 điểm A, D, H, E cùng nằm trên một đường tròn (O).
b, Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh ME là tiếp tuyến của (O).
Cho tam giác ABC đều có cạnh là a các đường cao BD và CE cắt nhau tại H
a)Chứng minh rằng B , E , D ,C cùng thuộc đường tròn
b)Hãy xác định tâm và bán kính của đường tròn đó
c) Chứng minh rằng điểm H nằm trong đường tròn và điểm A nằm ngoài đường tròn biết a = 2 cm
d )Tính OH
a: Xét tứ giác BEDC có
\(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\)
nên BEDC là tứ giác nội tiếp
=>B,E,D,C cùng thuộc 1 đường tròn
b: Vì \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^0\)
nên B,E,D,C cùng thuộc đường tròn đường kính BC
tâm là trung điểm I của BC
bán kính là BC/2
c: Xét ΔABC có
BD,CE là đường cao
BD cắt CE tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH\(\perp\)BC(1)
ΔABC cân tại A
mà AI là đường trung tuyến
nên AI\(\perp\)BC(2)
Từ (1),(2) suy ra A,H,I thẳng hàng
ΔABC đều
mà BD,CE là các đường cao
nên BD,CE là các đường trung tuyến
=>D,E lần lượt là trung điểm của AC,AB
Xét ΔABC có
BD,CE là các đường trung tuyến
BD cắt CE tại H
Do đó; H là trọng tâm của ΔABC
mà I là trung điểm của BC
nên \(AH=\dfrac{2}{3}AI\) và \(IH=\dfrac{1}{3}IA\)
ΔAIB vuông tại I
=>\(AB^2=AI^2+IB^2\)
=>\(AI^2=2^2-1^2=3\)
=>\(AI=\sqrt{3}\left(cm\right)\)
\(HI=\dfrac{1}{3}HA=\dfrac{1}{3}\sqrt{3}< \dfrac{1}{3}\cdot3=IB=R\)
=>H nằm trong (I)
\(IA=\sqrt{3}>1=IB=R\)
=>A nằm ngoài (I)
Cho tam giác ABC có hai đường cao BD , CE cắt nhau taih H
a, Chứng minh bốn điểm A , D , H ,E cùng nằm trên đường tròn ( O)
b, Gọi M là trung điểm BC . Chứng minh ME là tiếp tuyến của (O)
a:
Sửa đề: Chứng minh bốn điểm A,D,H,E cùng nằm trên đường tròn
Xét tứ giác ADHE có
\(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)
=>ADHE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH
=>Tâm O là trung điểm của AH
b: Gọi giao điểm của AH với BC là M
Xét ΔABC có
BD,CE là đường cao
BD cắt CE tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH\(\perp\)BC tại M
OD=OH
=>ΔODH cân tại O
=>\(\widehat{ODH}=\widehat{OHD}\)
mà \(\widehat{OHD}=\widehat{BHM}\)(hai góc đối đỉnh)
và \(\widehat{BHM}=\widehat{BCD}\left(=90^0-\widehat{DBC}\right)\)
nên \(\widehat{ODH}=\widehat{DCB}\)
ΔDBC vuông tại D có DI là đường trung tuyến
nên DI=IB=IC=BC/2
IB=ID
=>ΔIDB cân tại I
=>\(\widehat{IBD}=\widehat{IDB}\)
\(\widehat{ODI}=\widehat{ODB}+\widehat{IDB}\)
\(=\widehat{IBD}+\widehat{DCB}=90^0\)
=>DI là tiếp tuyến của (O)
Bài 1: Cho nữa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy M trên (O) và tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của (O) ở C và D; AM cắt OC tại E, BM cắt OD tại F.
a) Chứng minh <COD= 90
b) Tứ giác MEOF là hình gì?
c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD
Bài 2: Cho tam giác ABC có hai đường cao BD, CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên đường tròn (O)
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh ME là tiếp tuyến của (O).