Cho 3 số thực a, b, c thỏa 1 ≤ a;b;c ≤ 2.
Chứng minh: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\le7\)
Những câu hỏi liên quan
1. Cho các số thực không âm a;b;c (không có hai số nào đồng thời bằng 0) thỏa mãn a+b+c leq 3Tìm giá trị nhỏ nhất: Adfrac{1}{a^2+b^2}+dfrac{1}{b^2+c^2}+dfrac{1}{c^2+a^2}2. Cho các số thực a;b;c in [0;1] thỏa mãn a+b+c2, tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:Bdfrac{ab}{1+ab}+dfrac{bc}{1+bc}+dfrac{ca}{1+ca}Thank you all :)
Đọc tiếp
1. Cho các số thực không âm \(a;b;c\) (không có hai số nào đồng thời bằng 0) thỏa mãn \(a+b+c \leq 3\)
Tìm giá trị nhỏ nhất: \(A=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{b^2+c^2}+\dfrac{1}{c^2+a^2}\)
2. Cho các số thực \(a;b;c \in [0;1]\) thỏa mãn \(a+b+c=2\), tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:
\(B=\dfrac{ab}{1+ab}+\dfrac{bc}{1+bc}+\dfrac{ca}{1+ca}\)
Thank you all :)
1.
Ta sẽ chứng minh BĐT sau: \(\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{b^2+c^2}+\dfrac{1}{c^2+a^2}\ge\dfrac{10}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Do vai trò a;b;c như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(c=min\left\{a;b;c\right\}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=a+\dfrac{c}{2}\\y=b+\dfrac{c}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+y=a+b+c\)
Đồng thời \(b^2+c^2=\left(b+\dfrac{c}{2}\right)^2+\dfrac{c\left(3c-4b\right)}{4}\le\left(b+\dfrac{c}{2}\right)^2=y^2\)
Tương tự: \(a^2+c^2\le x^2\) ; \(a^2+b^2\le x^2+y^2\)
Do đó: \(A\ge\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh: \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\ge\dfrac{10}{\left(x+y\right)^2}\)
Mà \(\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2}\le\dfrac{1}{4xy}\) nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\ge\dfrac{5}{2xy}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{2}{xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}-\dfrac{1}{2xy}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-y\right)^2}{x^2y^2}-\dfrac{\left(x-y\right)^2}{2xy\left(x^2+y^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-y\right)^2\left(2x^2+2y^2-xy\right)}{2x^2y^2}\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(A\ge\dfrac{10}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\dfrac{10}{3^2}=\dfrac{10}{9}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2};0\right)\) và các hoán vị của chúng
Đúng 1
Bình luận (0)
2.
Ta có: \(B=\dfrac{ab+1-1}{1+ab}+\dfrac{bc+1-1}{1+bc}+\dfrac{ca+1-1}{1+ca}\)
\(B=3-\left(\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+ca}+\dfrac{1}{1+ab}\right)\)
Đặt \(C=\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ca}\)
Ta có: \(C\ge\dfrac{9}{3+ab+bc+ca}\ge\dfrac{9}{3+\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{27}{13}\)
\(\Rightarrow B\le3-\dfrac{27}{13}=\dfrac{12}{13}\)
\(B_{max}=\dfrac{12}{13}\) khi \(a=b=c=\dfrac{2}{3}\)
Do \(a;b;c\in\left[0;1\right]\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)
\(\Leftrightarrow ab+c+1\ge a+b+c=2\)
\(\Rightarrow abc+ab+c+1\ge ab+c+1\ge2\)
\(\Rightarrow\left(c+1\right)\left(ab+1\right)\ge2\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{ab+1}\le\dfrac{c+1}{2}\)
Hoàn toàn tương tự, ta có:
\(\dfrac{1}{bc+1}\le\dfrac{a+1}{2}\) ; \(\dfrac{1}{ca+1}\le\dfrac{b+1}{2}\)
Cộng vế: \(C\le\dfrac{a+b+c+3}{2}=\dfrac{5}{2}\)
\(\Rightarrow B\ge3-\dfrac{5}{2}=\dfrac{1}{2}\)
\(B_{min}=\dfrac{1}{2}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;1\right)\) và các hoán vị của chúng
Đúng 1
Bình luận (0)
bài 1: tìm tất cả các cặp số thực (a,b) thỏa mãn: a2+b2+9=ab+3a+3b
bài 2: cho các số thực a,b,c thỏa mãn (a+b+c)2=3(ab+bc+ca). chứng minh a=b=c
Bài 2 :
\(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ca\right)\)
<=> a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = 3ab + 3bc + 3ca
<=> a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca
<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 2ab + 2bc + 2ca
<=> ( a - b )^2 + ( b - c )^2 + ( c - a )^2 = 0
<=> a = b = c
Đúng 3
Bình luận (0)
Bài 1 :
a^2 + b^2 + 9 = ab + 3a + 3b
<=> 2a^2 + 2b^2 + 18 = 2ab + 6a + 6b
<=> a^2 - 2ab + b^2 + a^2 - 6a + 9 + b^2 - 6a + 9 = 0
<=> ( a - b)^2 + ( a - 3)^2 + ( b - 3)^2 = 0
Dấu ''='' xảy ra khi a = b = 3
Đúng 1
Bình luận (0)
1.
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+18=2ab+6a+6b\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-6a+9\right)+\left(b^2-6b+9\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-3\right)^2+\left(b-3\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\a-3=0\\b-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=3\)
2.
\(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=3ab+3bc+3ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Đúng 1
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
Bài 1 :
a) Cho a , b , c là ba số thực thỏa mãn \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ca\right)\) . Chứng minh rằng a = b = c
b) Cho a , b , là ba số thực thỏa mãn a + b + c = 0 . Chứng minh rằng \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
c) Cho a , b , c là ba số thực thỏa mãn \(a^3+b^3+c^3=3abc\) . Liệu có thể khẳng định rằng a + b + c = 0
a/
\(a^2+b^2+c^2+29ab+bc+ca=3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=b=c\)
b/ \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right)-3ab\left(a+b\right)\)
\(=-3ab\left(a+b\right)=-3ab\left(-c\right)=3abc\)
c/ Không, vì \(a=b=c\ne\) thì \(a^3+b^3+c^3=3a^3=3abc\) vẫn đúng
Bài 1 :
a) Cho a , b , c là ba số thực thỏa mãn \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ca\right)\) . Chứng minh rằng a = b = c
b) Cho a , b , là ba số thực thỏa mãn a + b + c = 0 . Chứng minh rằng \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
c) Cho a , b , c là ba số thực thỏa mãn \(a^3+b^3+c^3=3abc\) . Liệu có thể khẳng định rằng a + b + c = 0
a, \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ac\right)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
=> a=b=c
b, \(0=\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+6abc+3a^2b+3ab^2+3b^2c+3bc^2+3c^2a+3ca^2\)
\(=a^3+b^3+c^3+6abc+3ab\left(a+b\right)+3bc\left(b+c\right)+3ac\left(a+c\right)\)
\(=a^3+b^3+c^3+6abc-3abc-3abc-3abc\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
Từ (a) -> hoặc a+b+c = 0 hoặc a=b=c. Vậy ko thể khẳng định như vây
1.cho a, b,c là các số thực dương thỏa mãn a^3 /(a^2+b^2) + b^3/(b^2+c^2) + c^3/(c^2+a^2) >= (a+b+c)/2
2.cho a, b,c là các số thực dương thỏa mãn (a^3 +b^3+c^3)/2abc + (a^2+ b^2)/c^2 + (b^2+c^2)/(a^2+bc) + (c^2+a^2)/b^2+ac) >= 9/2
a)Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=1
cm: \(a^3+b^3+c^3\le\frac{1}{8}+a^4+b^4+c^4\)
b)Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh:
\(\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\le\frac{9}{10}\)
Mình xài p,q,r nhé :))
Ta có:
\(a^3+b^3+c^3=p^3-3pq+3r=1-3q+3r\)
\(a^4+b^4+c^4=1-4q+2q^2+4r\)
Khi đó BĐT tương đương với:
\(\frac{1}{8}+2q^2+4r-4q+1\ge1-3q+3r\)
\(\Leftrightarrow2q^2-q+\frac{1}{8}+r\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(q-\frac{1}{4}\right)+r\ge0\) ( đúng )
\(a^4+b^4+c^4+\frac{1}{8}\left(a+b+c\right)^4\ge\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a+b+c\right)\)
Khúc đầu có gì đâu nhỉ: \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(=p^3-3\left[\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\right]\)
\(=p^3-3pq+3r\)
--------------------------------------
\(a^4+b^4+c^4=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(=\left[\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)\right]^2-2\left[\left(ab+bc+ca\right)^2-2abc\left(a+b+c\right)\right]\)
\(=\left(p^2-2q\right)^2-2\left(q^2-2pr\right)\)
\(=p^4-4p^2q+2q^2+4pr\)
Xem thêm các đẳng thức thông dụng tại: https://bit.ly/3hllKCq
Đọc xong lú luôn @_@. Khúc đầu chả hiểu gì hết
mà thôi cũng phải tk ông a 1 cái vì có tâm với nghề
Xem thêm câu trả lời
Cho các số thực a;b;c khác 0 thỏa mãn a^3+b^3+c^3=3abc. Tính giá trị biểu thức A=(1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)
a^3+b^3+c^3=3abc
=>(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3bac=0
=>(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)=0
=>(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=0
=>a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0
=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0
=>(a-c)^2+(a-b)^2+(b-c)^2=0
=>a=b=c
=>A=(1+b/b)(1+b/b)(1+c/c)
=2*2*2=8
Đúng 1
Bình luận (0)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng ∑\(\dfrac{1}{a+3b}\)≥ ∑\(\dfrac{1}{a+3}\)
Ta có:
\(\dfrac{1}{a+3b}+\dfrac{1}{c+3}\ge\dfrac{4}{a+3b+c+3}=\dfrac{4}{2b+6}=\dfrac{2}{b+3}\)
Tương tự:
\(\dfrac{1}{b+3c}+\dfrac{1}{a+3}\ge\dfrac{2}{c+3}\)
\(\dfrac{1}{c+3a}+\dfrac{1}{b+3}\ge\dfrac{2}{a+3}\)
Cộng vế:
\(\sum\dfrac{1}{a+3b}+\sum\dfrac{1}{a+3}\ge\sum\dfrac{2}{a+3}\)
\(\Rightarrow\sum\dfrac{1}{a+3b}\ge\sum\dfrac{1}{a+3}\) (đpcm)
Đúng 2
Bình luận (0)
cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng ∑\(\dfrac{1}{a+3b}\)≥ ∑\(\dfrac{1}{a+3}\)
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a+b+c=3 và 1/a + 1/b + 1/c = 1/3. Chứng minh rằng trong 3 số a, b, c có ít nhất 1 số bằng 3.
Câu hỏi của đàm anh quân lê - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo cách làm tương tự nhé!
Đúng 0
Bình luận (0)
