1: Ta có \(\widehat{KAO}=\widehat{KMO}=90^o\) nên tứ giác KAOM nội tiếp.

2: Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(OI.OK=OA^2=R^2\)

3: Phần thuận: Dễ thấy H thuộc KI.

Ta có \(\widehat{AHO}=90^o-\widehat{HAI}=\widehat{AMK}=\widehat{AOK}\) nên tam giác AHO cân tại A.

Do đó AH = AO = R.

Suy ra H thuộc (A; R) cố định.

Phần đảo cm tương tự.

Vậy...

1: Xét (O) có

CM là tiếp tuyến

CA là tiếp tuyến

Do đó: CM=CA

Xét (O) có

DM là tiếp tuyến

DB là tiếp tuyến

Do đó: DM=DB

Ta có: CM+DM=CD

nên CD=AC+BD

(Quá lực!!!)

Đầu tiên, hãy CM tam giác \(EAH\) và \(ABD\) đồng dạng.

Từ đó suy ra \(\frac{EA}{AB}=\frac{AH}{BD}\) hay \(\frac{EA}{OB}=\frac{AC}{BD}\).

Từ đây CM được tam giác \(EAC\) và \(OBD\) đồng dạng.

Suy ra \(\widehat{ECA}=\widehat{ODB}\). Do đó nếu gọi \(OD\) cắt \(EC\) tại \(L\) thì CM được \(OD⊥EC\).

-----

Đường tròn đường kính \(NC\) cắt \(EC\) tại \(F\) nghĩa là \(NF⊥EC\), hay \(NF\) song song với \(OD\).

Vậy \(NF\) chính là đường trung bình của tam giác \(AOD\), vậy \(NF\) qua trung điểm \(AO\) (là một điểm cố định) (đpcm)

a: Xét tứ giác KAOM có 

\(\widehat{KAO}+\widehat{KMO}=180^0\)

Do đó: KAOM là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

KA là tiếp tuyến

KM là tiếp tuyến

Do đó: KA=KM

hay K nằm trên đường trung trực của AM(1)

Ta có: OA=OM

nên O nằm trên đường trung trực của AM(2)

Từ (1) và (2) suy ra OK là đường trung trực của AM

hay OK\(\perp\)AM

Xét ΔOAK vuông tại A có AI là đường cao

nên \(OI\cdot OK=OA^2\)

a: Xét (O) có 

ΔAMB nội tiếp đường tròn

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

a, HS tự làm

b, Ta có OP ⊥ AM, BM ⊥ AM => BM//OP

c, chứng minh ∆AOP = ∆OBN => OP=BN

lại có BN//OP do đó OPNB là hình bình hành

d, Ta có ON ⊥ PI, PM ⊥ JO mà PM ∩ ON = I => I là trực tâm ∆POJ => JI ⊥ PO(1)

Chứng minh PAON hình chữ nhật => K trung điểm PO

Lại có  A P O ^ = O P I ^ = I O P ^ => ∆IPO cân tại I => IKPO (2)

Từ (1),(2) => J,I,K thẳng hàng

a: Xét (O) có 

ΔAMB nội tiếp đường tròn

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M