Mình có cách này,không chắc lắm:

\(VT=\frac{a}{a\left(a^2+bc+1\right)}+\frac{b}{b\left(b^2+ac+1\right)}+\frac{c}{c\left(c^2+ab+1\right)}\) (làm tắt,bạn tự hiểu nha)

\(=\frac{1}{a^2+bc+1}+\frac{1}{b^2+ac+1}+\frac{1}{c^2+ab+1}\)

\(\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c}}\right)\)

\(=\frac{1}{3}\left[\left(1+1+1\right)-\left(\frac{\sqrt[3]{a}-1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{\sqrt[3]{b}-1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{\sqrt[3]{c}-1}{\sqrt[3]{c}}\right)\right]\)

\(=1-\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt[3]{a}-1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{\sqrt[3]{b}-1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{\sqrt[3]{c}-1}{\sqrt[3]{c}}\right)\)

Áp dụng BĐT Cô si với biểu thức trong ngoặc:

\(=1-\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt[3]{a}-1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{\sqrt[3]{b}-1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{\sqrt[3]{c}-1}{\sqrt[3]{c}}\right)\)

\(\le1-\sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{a}-1\right)\left(\sqrt[3]{b}-1\right)\left(\sqrt[3]{c-1}\right)}\le1^{\left(đpcm\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1

Ta c/m bđt sau: 

\(a^3+1\ge a^2+a\)

\(\Leftrightarrow a^3+1-a^2-a\ge0\Leftrightarrow a\left(a^2-1\right)-\left(a^2-1\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(a+1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a^3+a+1}\le\frac{a}{a^2+2a}=\frac{1}{a+2}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a^3+a+1}+\frac{b}{b^3+b+1}+\frac{c}{c^3+c+1}\le\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\)

Đặt \((a,b,c)\rightarrow(\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x})\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=\frac{y}{x+2y}+\frac{z}{y+2z}+\frac{x}{z+2x}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{x}{x+2y}+1-\frac{y}{y+2z}+1-\frac{z}{z+2x}\right)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{x^2+2xy}+\frac{y^2}{y^2+2yz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\right)\)\(\le\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}\right)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Thấy mọe rồi,lúc đó t ngốc quá nên làm nhầm.

Với mọi x;y dương ta có:

\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=xy\left(x+y\right)\)

Áp dụng:

\(VT=\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\)

\(VT\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+1}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)+1}+\frac{1}{ca\left(c+a\right)+1}\)

\(VT\le\frac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}+\frac{abc}{bc\left(b+c\right)+abc}+\frac{abc}{ca\left(c+a\right)+abc}\)

\(VT\le\frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Đặt: 

\(P=\frac{a}{a^3+a+1}+\frac{b}{b^3+b+1}+\frac{c}{c^3+c+1}\)

Ta c/m:

\(a^3+1\ge a^2+a\Leftrightarrow a^3-a^2-\left(a-1\right)\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(a+1\right)\ge0\Rightarrow DPCM\)

\(\Rightarrow P\le\frac{a}{a^2+2a}+\frac{b}{b^2+2b}+\frac{c}{c^2+2c}=\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\)

Áp dụng bđt Sac- xơ ngược ta được:

\(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\le\frac{1}{9}\left(\frac{4}{2}+\frac{1}{a}\right)+\frac{1}{9}\left(\frac{4}{2}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{9}\left(\frac{1}{c}+\frac{4}{2}\right)\)

\(=\frac{2}{3}+\frac{ab+bc+ca}{9}\)

Ta cần c/m: \(\frac{2}{3}+\frac{ab+bc+ca}{9}\le1\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{9}\le\frac{1}{3}\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge3\)

Tiếp nhé:

Áp dụng bđt AM-GM ta được:

\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{ab.bc.ca}=3\)  (do abc=1)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

=>DPCM

Bài này anh nhờ 1 người bạn trên fb giúp

Ah có cáh khác a ~    

Bài này có ở đề cương thi HSG huyện trường a ~

Áp dụng BĐT AG-GM ta có : 

\(a^3 +a\ge2a^2\)

\(c^3+c\ge2c^2\)

Đặt biểu thức là T ta có :

\(\frac{a}{a^3+a+1}+\frac{b}{b^3+b+1}+\frac{c}{c^3+c+1}\le\frac{a}{2a^2+1}+\frac{b}{2b^2+1}+\frac{c}{2c^2+1}\le\frac{a}{a^2+2a}+\frac{b}{b^2+2b}+\frac{c}{c^2+2c}\)

\(\Rightarrow T\le\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\left(1\right)\)

Vì  \(abc=1\Rightarrow\left(a,b,c\right)=\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x}\left(x,y,z>0\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=\frac{y}{x+2y}+\frac{z}{y+2z}+\frac{x}{z+2x}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{x}{x+2y}+1-\frac{y}{y+2z}+1-\frac{z}{z+2x}\right)\)

\(=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{x^2+2xy}+\frac{y^2}{y^2+2zy}+\frac{z^2}{z^2+2xz}\right)\)

\(\le\frac{3}{2}-\frac{1}{2}.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+2xy+y^2+2zy+z^2+2xz}\)

\(=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\) (2)

Theo BĐT  Cauchy-Schwarz   ta có :

Từ (1) và (2)  \(\Rightarrow T\le1\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra  \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopkxy:

$(a^3+1)(a+1)\geq (a^2+1)^2\Rightarrow a^3+1\geq \frac{(a^2+1)^2}{a+1}; a+1\leq \sqrt{2(a^2+1)}$

$\Rightarrow \frac{a^3+1}{b\sqrt{a^2+1}}\geq \frac{\sqrt{(a^2+1)^3}}{b(a+1)}\geq \frac{a^2+1}{\sqrt{2}b}$

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế suy ra:

$\text{VT}\geq \frac{a^2+1}{\sqrt{2}b}+\frac{b^2+1}{\sqrt{2}c}+\frac{c^2+1}{\sqrt{2}a}$

Bài toán sẽ được chứng minh khi ta chỉ ra được: $\frac{a^2+1}{\sqrt{2}b}+\frac{b^2+1}{\sqrt{2}c}+\frac{c^2+1}{\sqrt{2}a}\geq \sqrt{2}(a+b+c)$

$\Leftrightarrow \frac{a^2+1}{b}+\frac{b^2+1}{c}+\frac{c^2+1}{a}\geq 2(a+b+c)$

$\Leftrightarrow ab^3+bc^3+ca^3+ab+bc+ac\geq 2abc(a+b+c)(*)$

Thật vậy, theo BĐT AM-GM:

$ab^3+bc+a^2b^2c^2\geq 3ab^2c$. Tương tự với $bc^3+ca+a^2b^2c^2\geq 3abc^2; ca^3+ab+a^2b^2c^2\geq 3a^2bc$

Cộng theo vế và thu gọn:

$ab^3+bc^3+ca^3+ab+bc+ac\geq 3abc(a+b+c-abc)(1)$

Mà: $(a+b+c)^3\geq 27abc\geq 27(abc)^3$ (do $abc\leq 1$) nên $a+b+c\geq 3abc(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow ab^3+bc^3+ca^3+ab+bc+ac\geq 2abc(a+b+c)$. BĐT $(*)$ được chứng minh.

Bài toán hoàn tất.

a) Ta có BĐT:

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge\left(a+b\right)ab\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)

Tương tự cho 2 bất đẳng thức còn lại rồi cộng theo vế:

\(VT\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)

\(=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}=VP\)

Khi \(a=b=c\)

cảm ơn ạ

câu 1 . Theo bđt côsi ta có \(a^3+b^3\ge ab(a+b)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab(a+b)+abc}=\frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{c}{abc(a+b+c)}\)

tương tự \(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{a}{abc(a+b+c)}\)và\(\frac{1}{a^3+c^3+abc}\le\frac{b}{abc(a+b+c)}\)

Cộng vế theo vế ta có  \(\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{b^3+a^3+abc}+\frac{1}{a^3+c^3+abc}\le\frac{a+b+c}{abc(a+b+c)}=\frac{1}{abc}\)

\(\RightarrowĐPCM\)

BĐT <=> \(\frac{2}{a^2+2}+\frac{2}{b^2+2}+\frac{2}{c^2+2}\le2\)

\(\Leftrightarrow1-\frac{a^2}{a^2+2}+1-\frac{b^2}{b^2+2}+1-\frac{c^2}{c^2+2}\le2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{a^2+2}+\frac{b^2}{b^2+2}+\frac{c^2}{c^2+2}\ge1\)

Theo BĐT Svacxo:

\(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+6}=\frac{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+b^2+c^2+6}=\frac{a^2+b^2+c^2+6}{a^2+b^2+c^2+6}=1\)

Vậy ta có đpcm.

P/s: Đúng ko ta?

Bạn từ chứng minh BĐT đầu bài.

a) Áp dụng: \(VT\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)+abc}+\frac{1}{ca\left(c+a\right)+abc}\) 

\(=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)

\(=\frac{1}{a+b+c}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)

b) Với abc = 1. Ta viết BĐT lại thành:

\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{abc}\)

Sử dụng cách chứng minh ở câu a.

c) Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(x^3;y^3;z^3\right)\) thì xyz = 1; x, y, z > 0. Đưa về chứng minh:

\(\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\le1\)

Cách chứng minh tương tự câu b.

C/m: BDT:  \(a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)   (1)

That vay ta co:

\(a^3+b^3+abc-ab\left(a+b+c\right)=\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)   (luon dung)

Tuong tu ta co:  \(b^3+c^3+abc\ge bc\left(a+b+c\right)\)  (2)

                         \(c^3+a^3+abc\ge ca\left(a+b+c\right)\)   (3)

Tu (1), (2), (3)  suy ra:

\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)

\(=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)   (dpcm)