Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski,ta có :
\(\left(a^3+b^3+1\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Tương tự : \(\frac{1}{b^3+c^3+1}\le\frac{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+a^2}{\left(a+b+c\right)^2};\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+b^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Cộng 3 BĐT trên lại theo vế, ta được :
\(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\frac{2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+a^2+b^2+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Ta thấy \(\frac{1}{a}=\frac{abc}{a}=bc;\frac{1}{b}=\frac{abc}{b}=ac;\frac{1}{c}=\frac{abc}{c}=ab\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\frac{2\left(ab+bc+ac\right)+a^2+b^2+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1
Cách khác anh Thanh Tùng DZ
Ta có BĐT sau:\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\) ( khó quá chứng minh ko nổi )
\(\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)
\(\frac{1}{b^3+c^3+1}\le\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}=1\)
Dấu "=' xảy ra tại a=b=c=1
cái trên xét hiệu là xong mà .
\(a^3+b^3-ab\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
mà cái đề phải là thực dương mới đúng
