Cho các số thực \(a,b,c\ge1\). Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{2a-1}+\frac{1}{2b-1}+\frac{1}{2c-1}+3\ge\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}\)
Cho các số thực \(a,b,c>1\)
Chứng minh rằng:\(\frac{1}{2a-1}+\frac{1}{2b-1}+\frac{1}{2c-1}+3\ge\frac{4}{a-b}+\frac{4}{b-c}+\frac{4}{c-a}\)
Sửa đề:
Cho a, b, c > 1(chỗ này là ý tui, dùng Wolfram Alpha sẽ thấy nếu không sửa như vầy thì đẳng thức không xảy ra). CMR:
\(\frac{1}{2a-1}+\frac{1}{2b-1}+\frac{1}{2c-1}+3\ge\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}\) (cái này là ý chủ tus đấy nhá!)
\(\Leftrightarrow\frac{2a}{2a-1}+\frac{2b}{2b-1}+\frac{2c}{2c-1}\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\) (tách ghép vế trái + làm chặt BĐT do \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b};..\))
\(\Leftrightarrow\frac{2a^2-4a+2}{a\left(2a-1\right)}+\frac{2b^2-4b+2}{b\left(2b-1\right)}+\frac{2c^2-4c+1}{c\left(2c-1\right)}\ge0\) (chuyển vế + quy đồng)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a-1\right)^2}{a\left(2a-1\right)}+\frac{2\left(b-1\right)^2}{b\left(2b-1\right)}+\frac{2\left(c-1\right)^2}{c\left(2c-1\right)}\ge0\) (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Vậy ta có đpcm.
\(\frac{1}{2a-1}+1\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{2a-1+1}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
HSG Bắc Ninh 2018-2019
Có \(\frac{1}{2a-1}\ge\frac{1}{a^2}\);\(\frac{1}{2b-1}\ge\frac{1}{b^2}\);\(\frac{1}{2c-1}\ge\frac{1}{c^2}\)
\(\Rightarrow\text{Σ}_{cyc}\frac{1}{2a-1}+3\ge\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+3\)
Lại có \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge^{co-si}\frac{2}{ab}\ge\frac{8}{\left(a+b\right)^2}\)
\(\frac{8}{\left(a+b\right)^2}+2\ge\frac{8}{a+b}\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+2\ge\frac{8}{a+b}\)
Tương tự ta có \(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\ge\frac{8}{b+c}\);\(\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}+2\ge\frac{8}{c+a}\)
\(\Rightarrow2\left(\text{Σ}_{cyc}\frac{1}{a^2}+3\right)\ge\text{Σ}_{cyc}\frac{8}{a+b}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+3\ge\text{Σ}_{cyc}\frac{4}{a+b}\)
\(\RightarrowĐPCM\left("="\Leftrightarrow a=b=c=1\right)\)
Giúp mình với! Mình đang cần gấp. Các bạn làm được bài nào thì giúp đỡ mình nhé! Cảm ơn!
Bài 1: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:
\(\frac{a^2}{\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{\left(2b^2+c^2\right)\left(2b^2+a^2\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{\left(2c^2+a^2\right)\left(2c^2+b^2\right)}}\le1\).
Bài 2: Cho các số thực dương a,b,c,d. Chứng minh rằng:
\(\frac{a-b}{a+2b+c}+\frac{b-c}{b+2c+d}+\frac{c-d}{c+2d+a}+\frac{d-a}{d+2a+b}\ge0\).
Bài 3: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:
\(\frac{\sqrt{b+c}}{a}+\frac{\sqrt{c+a}}{b}+\frac{\sqrt{a+b}}{c}\ge\frac{4\left(a+b+c\right)}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\).
Bài 4:Cho a,b,c>0, a+b+c=3. Chứng minh rằng:
a)\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge1\).
b)\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge\frac{3}{2}\).
c)\(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge3\).
Bài 5: Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng:
\(\frac{2a^2+ab}{\left(b+c+\sqrt{ca}\right)^2}+\frac{2b^2+bc}{\left(c+a+\sqrt{ab}\right)^2}+\frac{2c^2+ca}{\left(a+b+\sqrt{bc}\right)^2}\ge1\).
1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)
\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\) (1)
áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)
(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\) <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\) ( vậy (1) đúng)
dấu '=' khi a=b=c
4b, \(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}=1-\frac{ab^2}{a^2+b^2}+1-\frac{bc^2}{b^2+c^2}+1-\frac{ca^2}{a^2+c^2}\)
\(\ge3-\frac{ab^2}{2ab}-\frac{bc^2}{2bc}-\frac{ca^2}{2ac}=3-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=\frac{3}{2}\)
4c,
\(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}=a+b+c-\frac{b^2}{b^2+1}-\frac{c^2}{c^2+1}-\frac{a^2}{a^2+1}+3--\frac{b^2}{b^2+1}-\frac{c^2}{c^2+1}-\frac{a^2}{a^2+1}\)\(\ge6-2\cdot\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=3\)
Cho a, b, c là các số thực dương thõa mãn \(\frac{1}{2a+1}+\frac{1}{2b+1}+\frac{1}{2c+1}\ge1\).Chứng minh rằng: \(\frac{1}{6a+1}+\frac{1}{6b+1}+\frac{1}{6c+1}\ge\frac{3}{7}\)
Đặt x = \(\frac{1}{2a+1},y=\frac{1}{2b+1},z=\frac{1}{2c+1}\)
Khi đó \(a=\frac{1-x}{2x},b=\frac{1-y}{2y},c=\frac{1-z}{2z}\)
Ta thấy 0 < x, y, z < 1 và x + y + z \(\ge1\)
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành :
\(\frac{x}{3-2x}+\frac{y}{3-2y}+\frac{z}{3-2z}\ge\frac{3}{7}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có :
\(\frac{x}{3-2x}+\frac{y}{3-2y}+\frac{z}{3-2z}\)
\(=\frac{x^2}{3x-2x^2}+\frac{y^2}{3y-2y^2}+\frac{z^2}{3z-2z^2}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x+y+z\right)-2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x+y+z\right)-\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2}\)
\(=\frac{3}{\frac{9}{x+y+z}-2}\ge\frac{3}{7}\)
Cbht
Cho các số thực a,b,c\(\ge\)1.CMR
\(\frac{1}{2a-1}+\frac{1}{2b-1}+\frac{1}{2c-1}+3\ge\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{c+a}\)
Do a ; b ; c \(\ge1>0\) , áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số , ta được :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
=> BĐT được c/m
Áp dụng BĐT trên vào bài toán , ta có :
\(\frac{1}{2a-1}+1\ge\frac{4}{2a-1+1}=\frac{2}{a}\left(1\right)\)
Tương tự : \(\frac{1}{2b-1}+1\ge\frac{2}{b};\frac{1}{2c-1}+1\ge\frac{2}{c}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) , ta có : \(\frac{1}{2a-1}+\frac{1}{2b-1}+\frac{1}{2c-1}+3\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\left(3\right)\)
Tiếp tục áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ( đã c/m ) , ta có :
\(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+c}+\frac{4}{a+c}\left(4\right)\)
Từ ( 3 ) ; ( 4 ) \(\Rightarrow\) đpcm
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a-1=1\\2b-1=1\\2c-1=1;a=b=c\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy ...
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng mịnh rằng:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{2a+b}{a\left(a+2b\right)}+\frac{2b+c}{b\left(2b+c\right)}+\frac{2c+a}{c\left(2c+a\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức cơ bản dạng\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\), ta được: \(\left(a+2b\right)^2=\left(\frac{2a+b}{2}+\frac{3b}{2}\right)^2\ge4.\frac{2a+b}{2}.\frac{3b}{2}=3b\left(2a+b\right)\)
\(\Rightarrow\frac{2a+b}{a+2b}\le\frac{a+2b}{3b}\Rightarrow\frac{2a+b}{a\left(a+2b\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Tương tự, ta có: \(\frac{2b+c}{b\left(b+2c\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\right)\); \(\frac{2c+a}{c\left(c+2a\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{2a+b}{a\left(a+2b\right)}+\frac{2b+c}{b\left(b+2c\right)}+\frac{2c+a}{c\left(c+2a\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3.Chứng minh \(\frac{1}{2+a^2b}+\frac{1}{2+b^2c}+\frac{1}{2+c^2a}\ge1\)
\(1-\frac{a^2b}{2+a^2b}\ge1-\frac{a^2b}{3.\sqrt[3]{a^2b}}\)\(\rightarrow1-3\sqrt[3]{a^4b^2}=3.\sqrt[3]{ab.ab.a^2}\rightarrow.....\)
BĐT cần chứng minh tương đương với \(\frac{a^2b}{2+a^2b}+\frac{b^2c}{2+b^2c}+\frac{c^2a}{2+c^2a}\le1\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: \(2+a^2b=1+1+a^2b\ge3\sqrt[3]{a^2b}\)
Do đó ta được \(\frac{a^2b}{1+a^2b}\le\frac{a^2b}{3\sqrt[3]{a^2b}}=\frac{a\sqrt[3]{ab^2}}{3}\)
Hoàn toàn tương tự ta được \(\frac{a^2b}{2+a^2b}+\frac{b^2c}{2+b^2c}+\frac{c^2a}{2+c^2a}\le\frac{a\sqrt[3]{ab^2}+b\sqrt[3]{bc^2}+c\sqrt[3]{ca}}{3}\)
Cũng theo BĐT Cauchy ta được \(\sqrt[3]{ab^2}\le\frac{a+b+b}{3}=\frac{a+2b}{3}\)
\(\Rightarrow a\sqrt[3]{ab^2}\le\frac{a\left(a+2b\right)}{3}=\frac{a^2+2ab}{3}\)
Tương tự cũng được \(a\sqrt[3]{ab^2}+b\sqrt[3]{bc^2}+c\sqrt[3]{ca}\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3\)
Từ đó ta được\(\frac{a^2b}{2+a^2b}+\frac{b^2c}{2+b^2c}+\frac{c^2a}{2+c^2a}\le1\)
Vậy BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
1njfnjgjggnvfkgnbmvfvm
Cho a,b,c > 0.CMR:
a, \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
b, \(2\left(\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\right)\ge1+\frac{b}{b+2a}+\frac{c}{c+2b}+\frac{a}{a+2c}\)
a) Dùng (a+b)2≥4ab
Chia hai vế cho a+b ( vì ab khác 0)
Ta có a+b≥\(\frac{4ab}{a+b}\) (Chuyển ab sang a+b) ta có
\(\frac{a+b}{ab}\)≥\(\frac{4}{a+b}\) <=> \(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)≥\(\frac{4}{a+b}\)
1, cho a,b,c là các số thực dương chứng minh rằng \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{2a+b}{a\left(a+2b\right)}+\frac{2b+c}{b\left(b+2c\right)}+\frac{2c+a}{c\left(a+2c\right)}\)
2,cho x,y,z thỏa mãn x+y+z=5 và xy+yz+xz=8 chứng minh rằng \(1\le x\le\frac{7}{3}\)
3, cho a,b,c>0 chứng minh rằng\(\frac{a^2}{2a^2+\left(b+c-a\right)^2}+\frac{b^2}{2b^2+\left(b+c-a\right)^2}+\frac{c^2}{2c^2+\left(b+a-c\right)^2}\le1\)
4,cho a,b,c là các số thực bất kỳ chứng minh rằng \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\left(ab+bc+ac-1\right)^2\)
5, cho a,b,c > 1 và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)chứng minh rằng \(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\le\sqrt{a+b+c}\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)=\left(x,y,z\right)\)
\(x+y+z\ge\frac{x^2+2xy}{2x+y}+\frac{y^2+2yz}{2y+z}+\frac{z^2+2zx}{2z+x}\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\frac{3xy}{2x+y}+\frac{3yz}{2y+z}+\frac{3zx}{2z+x}\)
\(\frac{3xy}{2x+y}\le\frac{3}{9}xy\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{3}\left(x+2y\right)\)
\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{3xy}{2x+y}\le\frac{1}{3}\left[\left(x+2y\right)+\left(y+2z\right)+\left(z+2x\right)\right]=x+y+z\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z
Cho các số thực a, b, c > 0. Chứng minh rằng :
\(\frac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}+\frac{b^2}{\left(2b+a\right)\left(2b+c\right)}+\frac{c^2}{\left(2c+a\right)\left(2c+b\right)}\ge\frac{1}{3}\)
Mình nhầm, phải là \(\le\frac{1}{3}\)mọi người làm giúp mình với mình cần gấp
Theo BĐT Cauchy Schwarz và các biến đổi cơ bản ta dễ có được:
\(\frac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}=\frac{a^2}{2a\left(a+b+c\right)+2a^2+bc}=\frac{1}{9}\left[\frac{\left(2a+a\right)^2}{2a\left(a+b+c\right)+2a^2+bc}\right]\)
\(\le\frac{1}{9}\left[\frac{4a^2}{2a\left(a+b+c\right)}+\frac{a^2}{2a^2+bc}\right]=\frac{1}{9}\left(\frac{2a}{a+b+c}+\frac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)
\(\Rightarrow LHS\le\frac{1}{9}\left(2+\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ca}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\right)\)
Tiếp tục theo BĐT Cauchy Schwarz dạng Engel:
\(\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ca}+\frac{c^2}{c^2+2ab}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)
Ta thực hiện phép đổi biến thì:
\(\frac{ab}{ab+2c^2}+\frac{bc}{bc+2a^2}+\frac{ca}{ca+2b^2}\ge1\)
Đến đây là phần của bạn
(Vào thống kê hỏi đáp xem ảnh nhé! 2 cách, cách đầu dùng kỹ thuật uvw, cách kia là SOS)