Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài đường tròn sao cho OM = 2R . Từ M vẽ hai tiếp tuyến MB và MA với đường tròn (A; B là hai tiếp điểm) . Lấy 1 điểm N tùy ý trên cung nhỏ AB. Gọi I , K , H lần lượt là hình chiếu vuông góc của n trên AB , AM , BM.
1. Tính diện tích tứ giác MAOB theo R
2. Chứng minh : góc NHI = góc NBA
3. Gọi E là giao điểm của AN và HI ,F là giao điểm của BN và IK. Chứng minh tứ giác IENF nội tiếp được trong đường tròn
4. Giả sử O, N , M thẳng hàng. Chứng minh 2R2 = NA2 + NB2
1: Xét (O) có
MA là tiếp tuyến
MB là tiếp tuyến
Do đó: MA=MB
hay M nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OA=OB
nên O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1) và (2) suy ra MO\(\perp\)AB
Gọi G là giao điểm của OM và AB
=>MO vuông góc với AB tại G
\(AM=R\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}OG=\dfrac{R^2}{2R}=\dfrac{R}{2}\\GM=2R-\dfrac{R}{2}=\dfrac{3}{2}R\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow AG=\dfrac{R^2\sqrt{3}}{2R}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}S_{AGM}=S_{BGM}=\dfrac{AG\cdot GM}{2}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{3R}{2}:2=\dfrac{3R^2\sqrt{3}}{8}\\S_{OGA}=S_{OGB}=\dfrac{OG\cdot GB}{2}=\dfrac{R}{2}\cdot\dfrac{R\sqrt{3}}{2}:2=\dfrac{R^2\sqrt{3}}{8}\end{matrix}\right.\)
\(S_{AOBM}=2\cdot\left(S_{AGM}+S_{OGA}\right)=2\cdot\dfrac{4R^2\sqrt{3}}{8}=R^2\sqrt{3}\)
2: Xét tứ giác NHBI có
\(\widehat{NHB}+\widehat{NIB}=180^0\)
Do đó: NHBI là tứ giác nội tiếp
Suy ra: \(\widehat{NHI}=\widehat{NBA}\)
Cho (O;R),điểm M ở ngoài (O) sao cho OM=2R.Vẽ tiếp tuyến MA,MB với (O),A>B là tiếp điểm.Lấy N tùy ý trên cung nhỏ AB.Gọi I,H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của N trên AB,AM,BM
a)tính SMAOB theo R
b)chứng minh góc NIH =góc NBA
c)gọi AN cắt IH tại E,BN cắt IK tại F
chứng minh IENF nội tiếp
d)giả sử O,N,M thẳng hàng
CM NA2+NB2=2R2
KHÓ QUÁ KẾT MÌNH ĐI
Cho đường tròn (O;R) từ một điểm M nằm ngoài (O;R) vẽ hai tiếp tuyến MA,MB. lấy điểm C bất kì trên cung nhỏ AB. gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên AB,AM,BM
a. chứng minh AECD nội tiếp
b. chứng minh ^CDE=^CBA
c. gọi I là giao điểm AC và DE, K là giao điểm CB và DF
chứng minh IK // AB
d. xác định vị trí điểm C trên cung nhỏ AB để (AC^2+ CB^2) nhỏ nhất
tính giá trị nhỏ nhất đó khi OM=2R
Cho đường tròn (O; R). Điểm M ở bên ngoài đường tròn sao cho OM= 2R. Kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tời đường tròn (A;B là các tiếp điểm). Nối OM cắt AB tại H. Hạ HD vuông góc MA tại D. Điểm C thuộc cung nhỏ AB. Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O;R) cắt MA, MB lần lượt tại E và F. Đường tròn đường kính BM cắt BD tại I. Gọi K là trung điểm của OA. Chứng minh ba điểm M, I, K thẳng hàng
Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (0,R)ta vẽ hai tiếp tuyến AB,AC với đường tròn (B,C là tiếp tuyến ).Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M.Gọi I,K,P lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh AB,AC,BC. Gọi H là hình chiếu của O trên BC
a) Chứng minh MPCK là tứ giác nội tiếp đường tròn
[CÓ HÌNH VẼ NHA]
góc MKC+góc MPC=180 độ
=>MPCK nội tiếp
Bài 1:
Cho (O;R), và một điểm M nằm ngoài đường tròn (O) sao cho OM = 2R. Từ M vẽ tiếp
tuyến MA của đường tròn (O) (A là tiếp điểm)
a) Tính độ dài AM theo R
b) Từ A kẻ dây cung AB vuông góc với OM tại H. Chứng minh MB là tiếp tuyến của
đường tròn (O)
(vẽ hình)
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không có điểm chung sao cho khoảng cách từ O đến d không quá 2R. Qua diêm M trên d, vẽ các tiếp tuyến MA, MB tới (O) với A, B là các tiếp điểm. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d. Vẽ Dây AB cắt OH ở K và cắt OM tại I. Tia OM cắt (O) tại E.a. Chứng minh 5 điểm O,A,M,B,H cùng thuộc 1 đường trònb.Chứng minh OI.OM=R2c. Chứng minh OK.OH = OI.OMd. Tìm vị trí của M trên d để OAEB là hình thoie. Khi M di chuyên trên d. Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định
Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không có điểm chung sao cho khoảng cách từ O đến d không quá 2R. Qua M trên d vẽ tiếp tuyến MA, MB tới (O) (A, B là tiếp điểm). gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d. dây AB cắt OH ở K và cắt OM tại I, tia OM cắt (O) tại E
a) c/m OM vuông góc AB và OI.OM=R^2
b) c/m OK.OH=OI.OM
c) tìm vị trí của M trên d để OAEB là hình thoi
a, Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau thì MA = MB
mà OA = OB ⇒ OM là trung trực của AB
⇒ OM ⊥ AB (đpcm) ⇒ AI là đường cao của ΔOAM
ΔOAM vuông tại A có AI là đường cao, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
\(OA^2=OI.OM\) hay \(OI.OM=R^2\)
b, Xét ΔOKI và ΔOMH có:
\(\widehat{O}\) chung
\(\widehat{OIK}=\widehat{OHM}\)
=> ΔOKI đồng dạng với ΔOMH
\(\Rightarrow\frac{OI}{OK}=\frac{OH}{OM}\)
=> OI.OM = OH.OK (đpcm)
c, Để OAEB là hình thoi thì AE = EB = R
<=> ΔOAE đều hay \(\widehat{AOM}=60^0\)
\(\Leftrightarrow OM=\frac{OA}{\cos60^0}=2.OA=2.R\)
Vậy M ∈ d sao cho OM = 2.R thì tứ giác OAEB là hình thoi.
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến MA tới đường tròn (O; R), ( A là tiếp điểm). Gọi E là trung điểm đoạn AM và hai điểm I, H lần lượt là hình chiếu của E và A trên đường thẳng OM. Qua M vẽ cát tuyến MBC tới đường tròn (O) sao cho MB < MC và tia MC nằm giữa hai tia MA, MO.
a) Chứng minh . góc AHB = góc AHC
b) Vẽ tiếp tuyến IK tới đường tròn (O) với K là tiếp điểm. Chứng minh . ∆MKH vuông tại K.
