\(\overrightarrow{AB}=\left(2;4\right);\overrightarrow{AC}=\left(11;-2\right);\overrightarrow{BC}=\left(9;-6\right)\)

\(\Rightarrow AB=2\sqrt{5};AC=5\sqrt{5};BC=3\sqrt{13}\)

Gọi D là chân đường phân giác trong góc A trên BC

\(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{5}\Rightarrow BD=\frac{2}{5}CD=\frac{2}{7}BC\Rightarrow\overrightarrow{BD}=\frac{2}{7}\left(9;-6\right)\)

\(\Rightarrow D\left(\frac{46}{7};\frac{44}{7}\right)\Rightarrow\overrightarrow{AD}=\left(\frac{32}{7};\frac{16}{7}\right)=\frac{16}{7}\left(2;1\right)\)

\(\Rightarrow\) Đường thẳng AD nhận \(\left(1;-2\right)\) là 1 vtpt

Phương trình AD:

\(1\left(x-2\right)-2\left(y-4\right)=0\Leftrightarrow x-2y+6=0\)

2.

Đường thẳng d có 1 vtpt là \(\left(1;3\right)\)

Gọi vtpt của d' là \(\left(a;b\right)\Rightarrow cos45^0=\frac{\left|a+3b\right|}{\sqrt{10\left(a^2+b^2\right)}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow a^2+6ab+9b^2=5a^2+5b^2\)

\(\Leftrightarrow4a^2-6ab-4b^2=0\Leftrightarrow\left(2a+b\right)\left(a-2b\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=-2a\\a=2b\end{matrix}\right.\)

Chọn \(a=2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=-4\\b=1\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường thẳng thỏa mãn:

\(\left[{}\begin{matrix}1\left(x+2\right)-2\left(y-0\right)=0\\2\left(x+2\right)+1\left(y-0\right)=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2y+2=0\\2x+y+4=0\end{matrix}\right.\)

Bài 1:

Gọi A và B lầm lượt là giao điểm của d với Ox và Oy

\(\Rightarrow A\left(3;0\right)\) ; \(B\left(0;5\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OA=\left|x_A\right|=3\\OB=\left|y_B\right|=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow S_{OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{15}{2}\)

Bài 2:

Đề thiếu, phải đối xứng qua cái gì chứ bạn?

dựa công thức tính S hình như đúng mà, giải violympic ak

Đặt \(AB=3x\Rightarrow AC=4x\Rightarrow BC=\sqrt{9x^2+16x^2}=5x\)

Theo tính chất phân giác: \(\frac{AE}{AB}=\frac{CE}{BC}\Rightarrow\frac{AE}{3x}=\frac{CE}{5x}\Rightarrow AE=\frac{3}{5}CE\)

\(\Rightarrow CE+\frac{3}{5}CE=4x\Rightarrow CE=\frac{5}{2}x\)

Gọi H là hình chiếu của E lên BC \(\Rightarrow EH\) nhận \(\overrightarrow{n_{EH}}=\left(4;-3\right)\) là 1 vtpt

Phương trình EH: \(4x-3y-6=0\)

Toạ độ H là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}3x+4y-7=0\\4x-3y-6=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H\left(\frac{9}{5};\frac{2}{5}\right)\)

Do \(\Delta CHE\sim\Delta CAB\Rightarrow\frac{CH}{CA}=\frac{CE}{BC}\Rightarrow CH=\frac{CE.AC}{BC}=\frac{\frac{5}{2}x.4x}{5x}=2x\)

\(\Rightarrow CH=\frac{2}{3}HB\Rightarrow\overrightarrow{CH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{HB}\)

Gọi \(C\left(c;\frac{7-3c}{4}\right)\); do \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{EA}=\frac{3}{5}\overrightarrow{CE}\\\overrightarrow{CH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{HB}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(-\frac{3}{5}c;\frac{9c-85}{20}\right)\\B\left(\frac{9-3c}{2};\frac{-43+45c}{40}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(\frac{45-9c}{10};\frac{27c-127}{40}\right)\\\overrightarrow{AC}=\left(\frac{8c}{5};\frac{60-9c}{10}\right)\end{matrix}\right.\)

\(AB\perp AC\Rightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\Rightarrow\frac{8c\left(45-9c\right)}{50}+\frac{\left(27c-127\right)\left(60-9c\right)}{400}=0\)

Giải pt này sẽ xong bài toán, xấu quá :(