a: Xét tứ giác AMNB có 

BN//AM

BN=AM

Do đó: AMNB là hình bình hành

mà BN=AB

nên AMNB là hình thoi

Hình Tự Vẽ Nhe

a)

Áp dụng định lí PItago vào tam giác ABC ta có:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Rightarrow AC^2=BC^2-AB^2=13^2-5^2=12\left(cm\right)\)

b)

Tứ Giác ABCE có:

D là trung điểm của AC (gt)

D là trung điểm của BE ( E đối xứng B qua A )

=> Tứ Giác ABCE là Hình Bình Hành

c)

Ta có:

Vì tứ giác ABCE là hình bình hành => CE=AB; CE//AB ( tính chất hình bình hành ) (1)

Mà M đối xứng với B qua A => AM=AB (2)

CE//AB (cmt) => CE//AM (3)

Từ (1) và (2) (3) => CE//AM và CE=AM

Tứ Giác AMEC có:

CE=AM (cmt)

CE//AM (cmt)

Góc A = 90 độ (gt)

=> Tứ giác AMEC là Hình Chữ Nhật

Đáp án:

AD+BC

=ED-EA+EC-EB

=(ED+EC)-(EA+EB) (1)

Mà E là trung điểm của AB=> EA+EB=0

(1)=2EF (F là trung điểm DC)

Câu 1

a, Vì ΔABC vuông tại A

⇒ \(\widehat{BAC}=90^0\)

⇒ \(\widehat{EAD}=90^0\)

Vì HD ⊥ AB

⇒ \(\widehat{ADH}=90^0\)

Vì HE ⊥ AC

⇒ \(\widehat{AEH}=90^0\)

Tứ giác ADHE có \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{EAD}=90^0\\\widehat{ADH}=90^0\\\widehat{AEH}=90^0\end{matrix}\right.\)

⇒ Tứ giác ADHE là hình chữ nhật (đpcm)

b, Vì tứ giác ADHE là hình chữ nhật có O là giao điểm của 2 đường chéo AH và DE

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\text{AH = DE}\\\text{O là trung điểm của AH }\\\text{O là trung điểm của DE}\end{matrix}\right.\)

Vì AH = DE

⇒ \(\dfrac{1}{2}\)AH = \(\dfrac{1}{2}\)DE (1)

Vì O là trung điểm của AH

⇒ OA = OH = \(\dfrac{1}{2}\)AH (2)

Vì O là trung điểm của DE

⇒ OD = OE = \(\dfrac{1}{2}\)DE (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ OA = OH = OD = OE (đpcm)

Bài 1:

a, Tứ giác ADHE có 3 góc vuông (em tự viết ra nhé) nên là hình chữ nhật

b, Hình chữ nhật ADHE có 2 đường chéo AH và DE cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường nên OD = OE = OA = OH

Bài 2:

a, Ta có: \(DH \parallel AC, AB \perp AC \Rightarrow DH \perp AB\), tương tự ta có: \(DK \perp AC\)

\(\Delta ABC\) có: AD là trung tuyến \(\Rightarrow AD=BD=DC=\dfrac{1}{2}BC\)

\(\Rightarrow\Delta ADB\) cân tại D có DH là đường cao nên DH là trung tuyến nên H là trung điểm của AB

Chứng minh tương tự với \(\Delta DAC\) ta có K là trung điểm của AC

b, Tứ giác AHDK có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật

Bài 3:

a, \(\Delta ABC\) có: AN = NC, BM = MC nên MN là đường trung bình nên \(MN \parallel AB\) , \(MN=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}AC\)(vì \(\Delta ABC\) cân tại A)

Tứ giác ABMD có \(MD \parallel AB, AD \parallel BM\) nên là hình bình hành\(\Rightarrow AB=MD\)

b, Ta có: \(MN=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}AC,AB=MD\Rightarrow MN=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}MD\Rightarrow AC=MD\)c, \(\Delta ABC\) có: AM là trung tuyến nên AM là đường cao

Tứ giác ADCM có 2 đường chéo AC và MD bằng nhau cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành có \(\hat{AMC}=90^o\)nên là hình chữ nhật

Bài 4, bài 5, bài 6: Chứng minh giống như bài 3

a, Tứ giác AHCK có: \(AK \parallel AC, AH \parallel KC \)(vì cùng vuông góc) nên là hình bình hành có \(\hat{AHC}=90^o\)nên là hình chữ nhật nên \(\hat{HAK}=90^o\)

b, AHCK là hình chữ nhật nên AC = HK và 2 đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường (1)

ABCD là hình bình hành nên 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường (2)

Từ (1) và (2) suy ra AC, HK và BD có cùng trung điểm O

Bài 8 để sau nhé

\(a,\) Vì AM là trung tuyến tam giác cân tại A nên AM cũng là đường cao

Vì D là trung điểm AC và MN nên AMCN là hình bình hành

Mà \(AM\bot BC\Rightarrow AM\bot MC\)

Do đó: AMCN là hình chữ nhật

\(b,\) Vì AMCN là hcn nên \(AM=AC;AN=MC\)

Mà \(AB=AC;MB=MC\Rightarrow AM=AB;AN=MB\)

Vậy ABMN là hình bình hành

\(c,\) Ta có \(BM=MC=\dfrac{1}{2}BC=3(cm)\)

Áp dụng PTG vào tam giác ABM vuông M

\(AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=4\left(cm\right)\)

Do đó \(S_{AMCN}=AM\cdot MC=4\cdot3=12\left(cm^2\right)\)

a) Xét tam giác ABC cân tại A: AM là trung tuyến (gt).

\(\Rightarrow\) AM là đường cao (Tính chất các đường trong tam giác cân).

\(\Rightarrow\) AM \(\perp\) BC. \(\Rightarrow\) \(\widehat{AMC}\) = 90^o.

Xét tứ giác AMCN có:

+ D là trung điểm của MN (N đối xứng với M qua D).

+ D là trung điểm của AC (gt).

\(\Rightarrow\) Tứ giác AMCN là hình bình hành (dhnb).

Lại có:  \(\widehat{AMC}\) = 90^o (cmt).

 \(\Rightarrow\) Tứ giác AMCN là hình chữ nhật (dhnb).

b) Tứ giác AMCN là hình chữ nhật (cmt).

\(\Rightarrow\) AN // MC (Tính chất hình chữ nhật).

\(\Rightarrow\) AN // BM.

Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC (gt). \(\Rightarrow\) M là trung điểm của BC.

\(\Rightarrow\) BM = MC = \(\dfrac{1}{2}\)BC.

Mà AN = MC (Tứ giác AMCN là hình chữ nhật).

\(\Rightarrow\) BM = MC = AN.

Xét tứ giác ABMN có:

+ BM = AN (cmt).

+ BM // AN (cmt).

\(\Rightarrow\) Tứ giác ABMN là hình bình hành (dhnb).

c) Ta có: BM = MC = \(\dfrac{1}{2}\)BC = \(\dfrac{1}{2}\).6 = 3 (cm).

Xét tam giác AMB vuông tại M có:

AB² = AM² + BM² (Định lý Pytago).

Thay số: 5² = AM² + 3².

\(\Leftrightarrow\) 25 = AM² + 9. \(\Leftrightarrow\) AM² = 16. \(\Leftrightarrow\) AM = 4 (cm).

Diện tích hình chữ nhật AMCN là: 3 . 4 = 12 (cm²).

Lời giải:
a. Vì $N$ đối xứng với $M$ qua $D$ nên $D$ là trung điểm $MN$

Tứ giác $AMCN$ có 2 đường chéo $AC, MN$ cắt nhau tại trung điểm $D$ của mỗi đường nên $AMCN$ là hình bình hành.

Mặt khác:

$ABC$ là tam giác cân nên đường trung tuyến $AM$ đồng thời là đường cao

$\Rightarrow AM\perp BC$ hay $\widehat{AMC}=90^0$
Hình bình hành $AMCN$ có 1 góc vuông nên là hcn.

b. Vì $AMCN$ là hcn nên $AN=MC$ và $AN\parallel MC$

Mà $BM=MC$ và $B,M,C$ thẳng hàng

$\Rightarrow BM=AN$ và $BM\parallel AN$
$\Rightarrow ANMB$ là hbh

c.

Diện tích $AMCN$: $S=AM.MC$. Trong đó:
$AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=\sqrt{5^2-(6:2)^2}=4$ (cm) theo định lý Pitago)

$MC=BC:2=3$ (cm)

$\Rightarrow S=3.4=12$ (cm²)

a/AD là ph/giác nên \(\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}=\frac{2a}{3a}=\frac{2}{3}\Rightarrow CD=\frac{3}{2}BD\)

BD+CD=\(BD+\frac{3}{2}BD=\frac{5}{2}BD=4a\) suy ra BD=....

b/ AB,BE là các tia ph/giác nên ta có

\(\frac{AB}{AE}=\frac{BI}{IE}\)

Tương tự như tính BD theo a, ta cũng tính AE theo a, rồi suy ra AB/AE=? suy ra BI/IE=? (2/1)

Mà BG/GM=2 nên IG//AC

c/Có \(\frac{AE}{EC}=\frac{S_{ABE}}{S_{BEC}}=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{S_{BEC}}{S_{ABE}}+1=2+1\Leftrightarrow\frac{S_{ABC}}{S_{ABE}}=3\Rightarrow S_{ABE}=\frac{1}{3}S_{ABC}\left(1\right)\)

Lại có AM=MC nên \(S_{AMB}=\frac{1}{2}ABC\left(2\right)\)

Lấy (2) trừ (1) được \(S_{AMB}-S_{ABE}=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)S_{ABC}\Leftrightarrow S_{BEM}=\frac{1}{6}S_{ABC}\)

IG//ME nên \(\frac{S_{BIG}}{S_{BEM}}=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}\Rightarrow S_{BIG}=\frac{4}{9}S_{BEM}=\frac{4}{9}.\frac{1}{6}S_{ABC}=\frac{2}{27}S_{ABC}\)

Có \(S_{EIGM}=S_{BEM}-S_{BIG}=\left(\frac{1}{6}-\frac{2}{27}\right)S_{ABC}=...\)