Giả sử phương trình đã cho có 2 nghiệm  x 1  và  x 2 , theo hệ thức Vi-ét ta có:

x 1  +  x 2  = -b/a = -[-2(m + 1)]/1 = 2(m + 1)/1 = 2(m + 1)

x 1 x 2  = c/a = ( m 2  + m - 1)/1 =  m 2  + m – 1

x 1 2 + x 2 2  =  x 1 + x 2 2  – 2 x 1 x 2  = 2 m + 2 2  – 2( m 2  + m – 1)

= 4 m 2  + 8m + 4 – 2 m 2  – 2m + 2 = 2 m 2  + 6m + 6

\(\Delta=a^2+8>0\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=a\\x_1x_2=-2\end{matrix}\right.\)

\(N=x_1^2+x_2^2+x_1x_2+2\left(x_1+x_2\right)+4\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2+2\left(x_1+x_2\right)+4\)

\(=a^2+2+2a+4\)

\(N=a^2+2a+6=\left(a+1\right)^2+5\ge5\)

\(N_{min}=5\) khi \(a=-1\)

Lời giải:

a) $\Delta'=m^2-(m-1)=m^2-m+1=(m-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m\in\mathbb{R}$

b) 

Theo định lý Viet:

$x_1+x_2=2m$
$x_1x_2=m-1$

c) 

$A=2mx_1+x_2^2-2mx_2-x_1^2+1$

$=2m(x_1-x_2)+x_2^2-x_1^2+1$

$=(x_1+x_2)(x_1-x_2)+x_2^2-x_1^2+1$

$=x_1^2-x_2^2+x_2^2-x_1^2+1$

$=1$

$=

\(\Delta=4m^2+69\ge0\Leftrightarrow\begin{matrix}m\ge\dfrac{\sqrt{69}}{2}\\m\le-\dfrac{\sqrt{69}}{2}\end{matrix}\)

viet : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=7\\x_1x_2=-\left(m^2+5\right)\end{matrix}\right.\)

ta có : \(A=\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2+2m=49+m^2+5+2m=m^2+2m+54\)

vì \(m\ge\dfrac{\sqrt{69}}{2}\Rightarrow m^2+2m+54\ge\dfrac{69+2\sqrt{69}+216}{4}\) hay \(A\ge\dfrac{69+2\sqrt{69}+216}{4}\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-1\\x_1x_2=-2+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

\(A=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{-1}{-2+\sqrt{2}}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\)

\(B=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=\left(-1\right)^2-2\left(-2+\sqrt{2}\right)=5-2\sqrt{2}\)

Đáp án B

Phương trình  x 2 - 5 x + 2 = 0 có hai nghiệm  x 1 ;   x 2

Theo hệ thức Vi-ét ta có: