Bài 3 :

\(BC=HC+HB=16+9=25\left(cm\right)\)

\(BC^2=AB^2+AC^2\Rightarrow AB^2=BC^2-AC^2=25^2-20^2=625-400=225=15^2\)

\(\Rightarrow AB=15\left(cm\right)\)

\(AH^2=HC.HB=16.9=4^2.3^2\Rightarrow AH=3.4=12\left(cm\right)\)

Bài 6:

\(AB=AC=4\left(cm\right)\) (Δ ABC cân tại A)

\(BH=HC=2\left(cm\right)\) (Ah là đường cao, đường trung tuyến cân Δ ABC) 

\(BC=BH+HC=2+2=4\left(cm\right)\)

Chu vi Δ ABC :

\(4+4+4=12\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB^2=9\cdot25=225\\AC^2=16\cdot25=400\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=15\left(cm\right)\\AC=20\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Xét ΔABC vuông tại A có 

\(\sin\widehat{C}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{15}{25}=\dfrac{3}{5}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{C}\simeq37^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{B}=53^0\)

Kẻ  AH \(\perp\) BC.

Xét tam giác ABC cân tại A có: AH là đường cao (AH \(\perp\) BC).

=> AH là trung tuyến (Tính chất các đường trong tam giác cân).

=> H là trung điểm của BC. => BH = \(\dfrac{1}{2}\) BC. => BH = \(\dfrac{1}{2}\)a.

Tam giác ABC cân tại A (gt). => ^ABC = (180^o - 108^o) : 2 = 36^o.

Mà ^BAD = 36^o (gt).

=> ^ABC = ^BAD = 36^o.

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong.

=> AD // BC (dhnb).

Mà AH \(\perp\) BC (cách vẽ).

=> AH \(\perp\) AD. => ^DAH = 90^o. => ^MAH = 90^o.

Kẻ MH // DB; M \(\in\) AD. 

Xét tứ giác DMHB có: 

+ MH // DB (cách vẽ).

+ MD // HB (do AD // BC).

=> Tứ giác DMHB là hình bình hành (dhnb). 

=> MH = DB và MD = BH (Tính chất hình bình hành).

Ta có: AD = MD + AM.

Mà AD = b (do AD = AC = b); MD = \(\dfrac{1}{2}\)a (do MD = BH = \(\dfrac{1}{2}\)a).

=> AM = b - \(\dfrac{1}{2}\)a.

Xét tam giác AHB vuông tại H có:

AB² = AH² + BH² (Định lý Py ta go).

Thay: b² = AH² + ( \(\dfrac{1}{2}\)a)².

<=> AH² = b² - \(\dfrac{1}{4}\)a².

<=> AH = \(\sqrt{b^2-\dfrac{1}{2}a^2}\).

Xét tam giác MAH vuông tại A (^MAH = 90^o) có:

\(MH^2=AM^2+AH^2\) (Định lý Py ta go).

Thay: MH² = (b - \(\dfrac{1}{2}\)a)² + (\(\sqrt{b^2-\dfrac{1}{2}a^2}\))².

 MH² = b²  - ab + \(\dfrac{1}{4}\)a² + b² - \(\dfrac{1}{4}\)a².

MH² = 2b² - ab.

MH = \(\sqrt{2b^2-ab}\).

Mà MH = BD (cmt).

=> BD = \(\sqrt{2b^2-ab}\).

Chu vi tam giác ABD: BD + AD + AB = \(\sqrt{2b^2-ab}\) + b + b = \(\sqrt{2b^2-ab}\) + 2b.

a) Xét tam giác ABC và ADC có:

AB=AD(giả thiết)

^BAC=^DAC(giả thiết)

AC: cạnh chung

⇒2 tam giác bằng nhau(c-g-c)

⇒^BCA=^DCA

⇒CA là phân giác ^BCD

vì AB//CD⇒^A=^B=^C=^E=90 độ

và ^ABC=^ECB⇒^BCA=^CBE

Xét tam giác ABC và ECB có:

^A=^E=90 độ

BC: cạnh chung

^BCA=^CBE

⇒ 2 tam giác bằng nhau(ch-gn)

⇒CE=AB=AD(1)

vì AE đi qua M mà AB//CE

⇒BC=AE=DC(2)

Từ (1)và(2)⇒AE//DC

Vì BD là phân giác của ABC và ADC 

Xét ∆ADB ta có :

A + ABD + ADB = 180°

ABD + ADB = 180 - 85 = 95°

Mà 2ABD + 2ADB = 95°

=> ABC + ADC = 95 * 2 = 190° 

Mà A + ABC + ADC + C = 360°

=> C = 360 - 85 - 190 = 85°