Ta có AN ⊥  NO, MP  ⊥ NO, M ∉  AN => AN // MP

Do đó AMPN là hình bình hành ó AN = MP = 2x

Tam giác ∆ANO đồng dạng với ∆NEM =>  A N N E = N O E M = > N E = 2 x 2 R  

TH 1.NE = NO – OE =>  2 x 2 R = R − R 2 − x 2 ⇔ 2 x 2 = R 2 − R R 2 − x 2  

Đặt  R 2 − x 2 = t , t ≥ 0 ⇒ x 2 = R 2 − t 2 .

PTTT 2 ( R 2 − t 2 ) = R 2 − R t ⇔ 2 t 2 − R t − R 2 = 0 ⇔ 2 t = − R t = R  

Do  t ≥ 0 ⇒ t = R ⇔ R 2 − x 2 = R ⇔ x = 0 ⇒ A ≡ B  (loại)

TH 2 NE = NO + OE =>  2 x 2 R = R + R 2 − x 2 ⇔ 2 x 2 = R 2 + R R 2 − x 2  

Đặt R 2 − x 2 = t , t ≥ 0 ⇒ x 2 = R 2 − t 2 .

PTTT 2 ( R 2 − t 2 ) = R 2 + R t ⇔ 2 t 2 + R t − R 2 = 0 ⇔ 2 t = R t = − R  

Do t ≥ 0 ⇒ 2 t = R ⇔ 2 R 2 − x 2 = R ⇔ x = R 3 2 = > A O = 2 R  (loại)

Vậy A thuộc BC, cách O một đoạn bằng 2R thì AMPN là hbh

Theo giả thiết AMO = ANO = AIO = 90^o = > 5 điểm A, O, M, N, I thuộc đường tròn đường kính AO 0,25

=> AIN = AMN, AIM = ANM (Góc nội tiếp cùng chắn một cung)

AM = AN => ∆AMN cân tại A => AMN = ANM

=> AIN = AIM => đpcm

Chọn đáp án D.

Suy ra OMDB là tứ giác nội tiếp.