\(a^2+a+1=\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\) \(\forall a\)

\(P=\frac{a^2+a+1+1}{\sqrt{a^2+a+1}}=\sqrt{a^2+a+1}+\frac{1}{\sqrt{a^2+a+1}}\ge2\) (Cô-si)

Dấu "=" xảy ra khi \(a^2+a+1=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\a=-1\end{matrix}\right.\)

Tích chéo bình phương chuyển vế

\(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge2\Leftrightarrow a^2+2\ge2\sqrt{a^2+1}\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+1}-1\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi a)

Ta có: \(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{\left(\sqrt{a^2+1}\right)^2+1}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{a^2+1}+\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\)

Áp dụng bđt cô - si, ta có:

\(\sqrt{a^2+1}+\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\ge2\sqrt{\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}.\sqrt{a^2+1}}=2\)

Đẳng thức xảy ra khi a = 0

\(P=\frac{a\left(\sqrt{\left(\sqrt{a-1}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{a-1}-1\right)^2}\right)}{\sqrt{\left(a-1\right)^2}}\)

\(=\frac{a\left(\sqrt{a-1}+1+\sqrt{a-1}-1\right)}{a-1}=\frac{2a\sqrt{a-1}}{a-1}=\frac{2a}{\sqrt{a-1}}\)

\(P-4=\frac{2a}{\sqrt{a-1}}-4=\frac{2\left(a-2\sqrt{a-1}\right)}{\sqrt{a-1}}=\frac{2\left(\sqrt{a-1}-1\right)^2}{\sqrt{a-1}}\ge0\)

\(\Rightarrow P\ge4\)

\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2=a+b+2\sqrt{ab}\)

áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:

\(\left(a+b\right)+2\sqrt{ab}>=2\sqrt{\left(a+b\right)2\sqrt{ab}}\)

a) có \(\sqrt{x^2+2x+5}=\sqrt{x^2+2x+1+4}=\sqrt{\left(x+1\right)^2+4}\)Vì \(\left(x+1\right)^2\ge0\forall x\in R\rightarrow\left(x+1\right)^2+4\ge0+4=4\forall x\in R\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+2x+5}\ge\sqrt{0+4}=\sqrt{4}=2\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=-1.\)

b) \(x>\sqrt{x}\Leftrightarrow x^2>x\Leftrightarrow x^2-x>0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)\ge0\)

Vì \(x>1\rightarrow x>0;x-1>0\)

\(\Rightarrow x\left(x-1\right)>0\) với mọi \(x>1\)

hay \(x>\sqrt{x}\) (đpcm)

Chúc bạn học tốt!

a)

√(x^2+2x+5)>2

<=>x^2+2x+5>4

<=>x^+2x+1>0

(x+1)^2 > 0 =>dpcm

b)

x>1<=>x^2>x

x(x-1)>0

luon dung

a) Với mọi số thực x ta có: \(\left(x-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+1\ge2x\)

Tương tự \(y^2+1\ge2y,z^2+1\ge2z\)

Cộng theo vế các bất phương trình trên ta có0:

 \(x^2+1+y^2+1+z^2+1\ge2x+2y+2z\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1

b) \(\frac{x^2+y^2}{x-y}=\frac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x-y}=\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\)

Vì x>y => x-y >0. Áp dụng bất đẳng thức cosi cho x-y>0 và 2/(x-y) >0. Ta có:

\(\left(x-y\right)+\frac{2}{x-y}\ge2\sqrt{\left(x-y\right).\frac{2}{x-y}}=2\sqrt{2}\)