Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC$), có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ và $D$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên $AO$ sao cho $D$ nằm giữa $A$ và $O$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, $N$ là giao điểm của $BD$ và $AC$, $F$ là giao điểm của $MD$ và $AC$. $E$ là giao điểm thứ hai của $BD$ với đường tròn $(O)$, $H$ là giao điểm của $BF$ và $AD$. Chứng minh rằng:
a/ Tứ giác $BDOM$ nội tiếp và \(\widehat{MOD}+\widehat{NAE}=180^o\).
b/ $DF//CE$, từ đó suy ra $NE.NF = NC.ND$.
Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC bằng nhau. Trên cung nhỏ AC lấy một điểm M. Gọi S là giao điểm của AM và BC. Chứng minh \(\widehat{ASC}=\widehat{MCA}.\)
Ta có: \(\widehat{ASC}=\dfrac{sđ\left(\widehat{AB}-\widehat{MC}\right)}{2}\) (1)
(\(\widehat{ASC}\) là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn (O)) và \(\widehat{MCA}=\dfrac{sđ\widehat{AM}}{2}\) (2)
(góc nội tiếp chắn cung \(\widehat{AM}\))
Theo giả thiết thì:
AB = AC => \(\widehat{AB}\) = \(\widehat{AC}\) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra:
\(\widehat{AB}-\widehat{MC}=\widehat{AC}-\widehat{MC}=\widehat{AM}\)
Từ đó \(\widehat{ASC}=\widehat{MCA}\).
Bài 1 :
Cho ABC nhọn (AB < AC). Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia AM lấy đi ểm N sao cho M là trung điểm của AN.
a/. Ch/m : ΔAMB = ΔNMC
b/. Vẽ CD \bot AB (D\in AB). So sánh góc ABC và góc BCN. Tính góc DCN.
c/. Vẽ AH \bot BC (H \in BC), trên tia đối của tia HA lấy điểm I sao cho HI = HA.
Ch/m : BI = CN.
BÀI 2 :
Vẽ góc nhọn xAy. Trên tia Ax lấy hai điểm B và C (B nằm giữa A và C). Trên tia Ay lấy hai điểm D và E sao cho AD = AB; AE = AC
a) Chứng minh BE = DC
b) Gọi O là giao điểm BE và DC. Chứng minh tam giác OBC bằng tam giác ODE.
c) Vẽ trung điểm M của CE. Chứng minh AM là đường trung trực của CE.
Bài 3
Cho tam giác ABC ( AB< AC ) . Gọi I là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia IB lấy điểm D, sao cho IB = ID. Chứng minh :
a) Tam giác AIB bằng tam giác CID.
b) AD = BC v à AD // BC.
Bài 4.
Cho tam giác ABC ( AB< AC ) . Gọi I là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia IB lấy điểm D, sao cho IB = ID. Chứng minh :
a) Tam giác AIB bằng tam giác CID.
b) AD = BC v à AD // BC.
Bài 4.
Cho tam giác ABC ( AB< AC ) . Gọi I là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia IB lấy điểm D, sao cho IB = ID. Chứng minh :
a) Tam giác AIB bằng tam giác CID.
b) AD = BC v à AD // BC.
BÀI 4
Cho tam giác ABC có góc A =350 . Đường thẳng AH vuông góc với BC tại H. Trên đường vuông góc với BC tại B lấy điểm D không cùng nửa mặt phẳng bờ BC với điểm A sao cho AH = BD.
a) Chứng minh ΔAHB = ΔDBH.
b) Chứng minh AB//HD.
c) Gọi O là giao điểm của AD và BC. Chứng minh O là trung điểm của BH.
d) Tính góc ACB , biết góc BDH= 350 .
Bài 5 :
Cho tam giác ABC cân tại A và có \widehat{A}=50^0 .
Tính \widehat{B} và \widehat{C}
Lấy D thuộc AB, E thuộc AC sao cho AD = AE. Chứng minh : DE // BC.
Bài 6 :
Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy D thuộc AC, E thuộc AB sao cho AD = AE.
Chứng minh : DB = EC.
Gọi O là giao điểm của BD và EC. Chứng minh : tam giác OBC và ODE là tam giác cân.
Chứng minh rằng : DE // BC.
Bài 7
Cho tam giác ABC. Tia phân giác của góc C cắt AB tại D. trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = CB.
Chứng minh : CD // EB.
Tia phân giác của góc E cắt CD tại F. vẽ CK vuông góc EF tại K. chứng minh : CK Tia phân giác của góc ECF.
Bài 8 :
Cho tam giác ABC vuông tại A có \widehat{B}=60^0 . Vẽ Cx vuông góc BC, trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CA (CE , CA nằm cùng phía đối BC). trên tia đối của tia BC lấy điểm F sao cho BF = BA. Chứng minh :
Tam giác ACE đều.
A, E, F thẳng hàng.
Bài 3:
a: Xét ΔAIB và ΔCID có
IA=IC
góc AIB=góc CID
IB=ID
Do đó: ΔAIB=ΔCID
b: Xét tứ giác ABCD có
I là trung điểm chung của AC và BD
nên ABCD là hình bình hành
Suy ra: AD//BC va AD=BC
Bài 6:
a: Xét ΔADB và ΔAEC có
AD=AE
góc A chung
AB=AC
Do đó: ΔADB=ΔAEC
SUy ra: BD=CE
b: Xét ΔEBC và ΔDCB có
EB=DC
BC chung
EC=BD
Do đó: ΔEBC=ΔDCB
Suy ra: góc OBC=góc OCB
=>ΔOBC cân tại O
=>OB=OC
=>OE=OD
=>ΔOED cân tại O
c: Xét ΔABC có AE/AB=AD/AC
nên ED//BC
Cho tam giác nhọn ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, lấy điểm D sao cho DA = DC, \(\widehat{ACD}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}\)
a. CM tg ABCD nội tiếp
b. Trên đường tròn ngoại tiếp tg ABCD, lấy E,F theo thứ tự là các điểm chính giữa của các cung bị chắn CB, BA bởi các góc CAB, góc BCA. Chứng minh BD vuông góc EF.
c. Gọi M là giao điểm BD và CF. CMR tam giác CDM cân.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O (AB< AC).Các đường cao AD và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp
b) Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn tâm O (M khác B,C) và N là điểm đối xứng của M qua BC .chứng minh tứ giác AHCN nội tiếp
c) Gọi I là giao điểm của AM và CH; J là giao điểm của AC và HN. Chứng minh góc AJI = góc ANC
d) Chứng minh rằng OA vuông góc với IJ
Cho tam giác ABC vuông tại A, lấy các điểm D và E lần lượt trên các cạnh AC và AB sao cho \(\widehat{ABD}=\frac{1}{3}\widehat{ABC};\widehat{ACE}=\frac{1}{3}\widehat{ACB}\). Gọi O là giao điểm của BD và CE. Chứng minh tam giác ODE cân
Cho tứ giác ABCD có \(\widehat{A}=90^o;\widehat{D}=90^o\) . Góc A và góc D là hai góc đáy . Trên BC lấy điểm M là điểm nằm giữa sao cho MC=CD , MB= AB . Gọi giao điểm của AC và BD là N chứng minh MN\(\perp AD\)
Hình ảnh minh họa , tại e k biết vẽ nhưng A và D = 90 độ và MC=CD , MB=AB . Hình dạng đúng rồi nhưng số đo góc và cạnh k đúng
Hình vẽ:
Từ giả thiết ta có \(\dfrac{MC}{MB}=\dfrac{CD}{AB}\left(1\right)\)
Mặt khác \(\left\{{}\begin{matrix}BA\perp AD\\CD\perp AD\end{matrix}\right.\Rightarrow BA//CD\)
\(\Rightarrow\dfrac{CD}{AB}=\dfrac{NC}{NA}\left(2\right)\) (Định lí Talet)
\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\dfrac{MC}{MB}=\dfrac{NC}{NA}\)
\(\Rightarrow MN//AB\)
Mà \(AB\perp AD\Rightarrow MN\perp AD\)
Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D thuộc cạnh AC, điểm E thuộc cạnh AB sao cho AD=AE.
a) So sánh\(\widehat{ABD}\)và \(\widehat{ACE}\)
b) Gọi I là giao điểm BD và CE. Tam giác IBC là tam giác gì? Vì sao?
c) Chứng minh DE//BC.
d) Chứng minh AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)
Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là điểm thuộc cung BC, E là giao điểm của BC và AD. Chứng minh rằng AC2 = AD.AE.
+) Ta có: ^ACD = ^ACB + ^BCD; ^AEC = ^ABC + ^BAD
Mà ^ACB = ^ABC (∆ABC cân tại A); ^BCD = ^BAD (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)
nên ^ACD = ^AEC (1)
+) Dễ có: ∆AEB ~ ∆CED (g.g) nên \(\frac{AB}{CD}=\frac{AE}{CE}=\frac{AC}{CD}\)(2)
Từ (1) và (2), ta có: ^ACD = ^AEC và \(\frac{AE}{CE}=\frac{AC}{CD}\)nên ∆AEC ~ ACD (c.g.c)
\(\Rightarrow\frac{AC}{AD}=\frac{AE}{AC}\Rightarrow AC^2=AE.AD\)(đpcm)
vì AB =AC => sđ cung AB = sđ cung AC
=> 1/2 ( sđ CD + sđ AB ) =1/2 ( sđ CD + sđ AC )
=> AEB = 1/2 sđ AD =ABD
CM tam giác ABD ~ tam giác AEB ( g-g) => AC^2 = AD.AE
Vì AB = AC => sđAB = sđAC (hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau)
Ta có góc ABD là góc nội tiếp chắn cung AD
nên góc ABD = \(\dfrac{sđAD}{2}\)
Vì góc AEB có đỉnh nằm trong đường tròn
nên góc AEB = \(\dfrac{sđAB+sđCD}{2}\) = \(\dfrac{sđAC+CD}{2}=\dfrac{sđAD}{2}\)
Do đó góc ABD = góc AEB
Xét ΔABD và ΔAEB có:
góc BAD chung
góc ABD = góc AEB (cmt)
Vậy: ΔABD đồng dạng với ΔAEB (g.g)
=> \(\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AE}{AB}\)
=> AB2 = AD.AE
