Do AE // DF, nên theo định lý Thales ta có:

\(\dfrac{AE}{DF}=\dfrac{OE}{OF}\). (1)

Do BE // CF, nên theo định lý Thales ta có:

\(\dfrac{BE}{CF}=\dfrac{OE}{OF}\). (2)

Từ (1), (2), kết hợp với gt DF = CF, ta có AE = BE. (đpcm)

-Sửa đề: F là giao của AC và BD.

EF cắt AB, CD lần lượt tại H,K.

\(\dfrac{AH}{BK}=\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{AB}{DC}=\dfrac{BE}{CE}=\dfrac{BH}{CK}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{BK}=\dfrac{BH}{CK}=\dfrac{AB}{DC}\left(1\right)\)

\(\dfrac{AH}{CK}=\dfrac{AF}{CF}=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{BF}{DF}=\dfrac{BH}{DK}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{CK}=\dfrac{BH}{DK}=\dfrac{AB}{CD}\left(2\right)\)

-Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{AH}{CK}=\dfrac{AH}{BK}=\dfrac{BH}{CK}=\dfrac{BH}{DK}\)

\(\Rightarrow AH=BH;CK=DK\)

\(\Rightarrow\)H là trung điểm AB, K là trung điểm CD.

a) Do \(AB//CD\Rightarrow AO//DN\)

Áp dụng định lí Ta-let cho tam giác \(IDN\) ta có \(\dfrac{OI}{IN}=\dfrac{AO}{DN}\)

\(\Rightarrow OI.ND=OA.IN\)

b) Do \(AB//CD\Rightarrow BO//CN\)

Áp dụng định lí Ta-let cho tam giác \(ICN\) ta có \(\dfrac{OI}{IN}=\dfrac{BO}{CN}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AO}{DN}=\dfrac{BO}{CN}\left(=\dfrac{OI}{IN}\right)\) mà \(DN=CN\) (do \(N\) là trung điểm \(CD\))

\(\Rightarrow AO=BO\Rightarrow O\) là trung điểm \(AB\)

a: góc OAB=góc ODC

góc OBA=góc BCD

mà góc ODC=góc BCD

nên góc OAB=góc OBA

=>ΔOBA cân tại O

b: Xét ΔABD và ΔBAC có

BA chung

BD=AC

AD=BC

=>ΔABD=ΔBAC

c: ΔABD=ΔBAC

=>góc ABD=góc BAC

=>EA=EB

=>EC=ED

d: OA+AD=OD

OB+BC=OC

mà OA=OB và AD=BC

nên OD=OC

=>OE là trung trực của DC

=>O,E,trung điểm của DC thẳng hàng

a) Chứng minh ΔOAB cân tại O:

Vì AB//CD, ta có ∠ABO = ∠CDO (do là góc đồng quy của hai đường thẳng AB và CD).

Tương tự, vì AB//CD, ta có ∠BAO = ∠DCO (do là góc đồng quy của hai đường thẳng AD và BC).

Do đó, ΔOAB có hai góc bằng nhau với ΔCDO, nên ΔOAB cân tại O.

b) Chứng minh ΔABD = ΔBAC:

Vì AB//CD, ta có ∠ABD = ∠BAC (do là góc đồng quy của hai đường thẳng AB và CD).

Tương tự, vì AB//CD, ta có ∠ADB = ∠CBA (do là góc đồng quy của hai đường thẳng AD và BC).

Do đó, ΔABD có hai góc bằng nhau với ΔBAC, nên ΔABD = ΔBAC.

c) Chứng minh EC = ED:

Vì AC là đường chéo của hình thang ABCD, nên AC chia BD thành hai đoạn bằng nhau.

Do đó, AE = CE và DE = BE.

Vì ΔAEB và ΔCEB có hai cạnh bằng nhau (AE = CE và BE = DE) và góc AEB = góc CEB (do AB//CD), nên ΔAEB = ΔCEB.

Từ đó, ta có EC = ED.

d) Chứng minh O, E và trung điểm của DC thẳng hàng:

Gọi F là trung điểm của DC. Ta cần chứng minh OF//AB.

Vì F là trung điểm của DC, nên DF = FC.

Vì AB//CD, ta có ∠FDC = ∠BAC (do là góc đồng quy của hai đường thẳng AD và BC).

Tương tự, vì AB//CD, ta có ∠FCD = ∠CBA (do là góc đồng quy của hai đường thẳng AD và BC).

Do đó, ΔFDC có hai góc bằng nhau với ΔBAC, nên ΔFDC = ΔBAC.

Từ đó, ta có OF//AB.

Vậy, O, E và trung điểm của DC thẳng hàng.

1:

Xet ΔOAE và ΔOCF có

góc OAE=góc OCF

góc AOE=góc COF

=>ΔOAE đồng dạng với ΔOCF
=>AE/CF=OE/OF

Xét ΔOEB và ΔOFD có

góc OEB=góc OFD

góc EOB=góc FOD

=>ΔOEB đồng dạng với ΔOFD

=>EB/FD=OE/OF=AE/CF

mà CF=DF

nên EB=AE

=>E là trung điểm của BA

alodgdhgjkhukljhkljyutfruftyhf