\(a,n^3-2n^2+3n+3=n^3-n^2-n^2+n+2n-2+5\\ =\left(n-1\right)\left(n^2-n+2\right)+5\\ \Leftrightarrow n^3-2n^2+3n+3⋮\left(n-1\right)\\ \Leftrightarrow5⋮n-1\\ \Leftrightarrow n-1\in\left\{-5;-1;1;5\right\}\\ \Leftrightarrow n\in\left\{-4;0;2;6\right\}\)

\(b,\Leftrightarrow x^4+6x^3+7x^2-6x+a\\ =x^4+3x^3-x^2+3x^3+9x^2-3x-x^2-3x+1-1+a\\ =\left(x^2+3x-1\right)\left(x^2+3x-1\right)-1+a\\ =\left(x^2+3x-1\right)^2+a-1\)

Để \(x^4+6x^3+7x^2-6x+a⋮x^2+3x-1\)

\(\Leftrightarrow a-1=0\Leftrightarrow a=1\)

- Nếu n chẵn thì  \(\left(n^2+1\right)3n\)  chẵn, mà  \(6\left(n^2+1\right)\)  chẵn nên A chẵn

- Nếu n lẻ thì  \(\left(n^2+1\right)3n\)  chẵn, mà  \(6\left(n^2+1\right)\)  chẵn nên A chẵn

Do đó  \(\forall n\in N\)    thì A chẵn, mà A là số nguyên tố  => A = 2

Hay \(\left(n^2+1\right)3n-6\left(n^2+1\right)=2\)

\(\Leftrightarrow3n^3+3n-6n^2-6-2=0\)

\(\Leftrightarrow3n^3-6n^2+3n-8=0\)

Mà  \(n\in N\)  nên ko tìm đc giá trị của n để A là số nguyên tố.

Đề bài hay nhỉ :3
A là SNT
-> A= 3((n^2+1)n-3(n^2+1)) -> A=3 
-> n^3+n-2n^2-2=1
-> Không n thỏa mãn 
-> Kết luận có A nguyên tố nhưng n không nguyên nên tha cho em bài này :vv

Ta có : \(A=3n^2-16n-12\)

\(=3n\left(n-6\right)+2\left(n-6\right)\)

\(=\left(n-6\right)\left(3n+2\right)\)

Vì n là số nguyên dương nên \(n-6< 3n+2\)

Vì A là số nguyên tố nên A chỉ có 2 ước nguyên dương là 1 và chính A 

\(\Rightarrow n-6=1\)

\(\Rightarrow n=7\)

Thử lại : Thay n vào A ta được :

\(A=\left(7-6\right)\left(3.7+2\right)=23\)(là số nguyên tố)

Vậy n=6 thì A là số nguyên tố .

Ta có:  3 n 3 + 10 n 2 - 5  = 3 n + 1 n 2 + 3 n - 1 - 4

Để phép chia đó là chia hết thì 4 ⋮ 3n + 1⇒ 3n + 1 ∈ Ư(4)

       3n + 1 ∈ {-4; -2; -1; 1; 2; 4}

       3n + 1 = -4⇒ 3n = -5⇒ n =  ∉ Z : loại

       3n + 1 = -2⇒ 3n = -3⇒ n = -1 ∈ Z

       3n + 1 = -1⇒ 3n = -2⇒ n =  ∉ Z : loại

       3n + 1 = 1⇒ 3n = 0⇒ n = 0 ∈ Z

       3n + 1 = 2⇒ 3n = 2⇒ n =  ∉ Z : loại

       3n + 1 = 4⇒ 3n = 3⇒ n = 1 ∈ Z

Vậy n ∈ {-1; 0; 1} thì  3 n 3 + 10 n 2 - 5  chia hết cho 3n + 1.

b: \(\Leftrightarrow3n^3+n^2+9n^2+3n-3n-1-4⋮3n+1\)

\(\Leftrightarrow3n+1\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\)

\(\Leftrightarrow n\in\left\{0;-1;1\right\}\)

Để A là số nguyên thì 2n^2-n+4n-2+5 chia hết cho 2n-1

=>\(2n-1\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

=>\(n\in\left\{1;0;3;-2\right\}\)

      `2n^2+3n+3 | 2n-1`

`-`   `2n^2-n`           `n+2`

     ------------------

                `4n+3`

          `-`   `4n-2`

              ------------

                       `5`

`<=> (2n^2+3n+3) : (2n-1)=5`

`<=> 5 ⋮ (2n-1)=> 2n-1 ∈ Ư(5)`\(=\left\{1,5\right\}\)

`+, 2n-1=1=>2n=2=>n=1`

`+, 2n-1=-1=>2n=0=>n=0`

`+, 2n-1=5=>2n=6=>n=3`

`+,2n-1=-5=>2n=-4=>n=-2`

vậy \(n\in\left\{1;0;3;-2\right\}\)