Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Văn Quang

1. Tìm để biểu thức sau là số nguyên tố : A = 3n3 – 5n2 + 3n – 5 .

2. a) Tìm n ∈ N để giá trị của biểu thức A = n3 + 2n2 – 3 là :

1 ) số nguyên tố ; 2) Bằng 2013

b) Tìm n ∈ N để giá trị của biểu thức B = n4 – n3 – 6n2 + 7n – 21 là số nguyên tố

3. Cho A = x4 + 4 và B = x4 + x2 + 1

a) Tìm GTLN của A - B

b) Phân tích A và B thành nhân tử

c) Tìm các số tự nhiên x để A và B cùng là số nguyên tố .

4. Tìm n ∈ N để : a) A = n.2n+1 ⋮ 3

b) B = 12n2-5n – 25 là số ngưên tố.

c) C = 8n2+10 n+ 3 là số nguyên tố

d) D = (n2+3n)/ 4 là số ngyên tố

5. Chứng minh ∀ số tự nhiên n khác không thì :

a) Số (6n + 1) và số (5n + 1) nguyên tố cùng nhau

b) Số (2n - 1) và số (2n + 1) nguyên tố cùng nhau

6. a) Tìm a N để (a + 1) ; (4a2 + 8a + 5) và (6a2 + 12a + 7) đồng thời là các số nguyên tố .

b) Chứng minh : nếu p là số nguyên tố khác 3 thì số A = 3n + 2014 + 2012p2 là hợp số ,với n N

7. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố p đều tồn tại vô số số tự nhiên n sao cho2n - n ⋮ p

8. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p2 + 14 là số nguyên tố.

9. Cho p ≥ 7 là số nguyên tố. CMR: 11...1( p-1 chữ số 1) ⋮ p.

10. Cho 4 số nguyên dương a , b , c , d thỏa mãn : a2 + b2 = c2 + d2

Chứng minh a + b + c + d là hợp số

11. Tìm số tự nhiên n sao cho số p = n3 – n2 – 7n + 10 là số nguyên tố.

Akai Haruma
29 tháng 2 2020 lúc 19:16

Bài 2:

1.

$A=n^3+2n^2-3=(n^3-1)+2(n^2-1)=(n-1)(n^2+n+1)+2(n-1)(n+1)$

$=(n-1)(n^2+n+1+2n+2)=(n-1)(n^2+3n+3)$

Để $A$ là số nguyên tố thì 1 trong 2 số $n-1,n^2+3n+3$ phải bằng $1$

Dễ thấy với $n\in\mathbb{N}$ thì $n^2+3n+3>1$. Do đó $n-1=1\Rightarrow n=2$

Khi đó $A=13$ là snt (thỏa mãn)

2.

$A=n^3+2n^2-3=2013$

$\Leftrightarrow n^3+2n^2-2016=0$

$\Leftrightarrow n^2(n-12)+14n(n-12)+168(n-12)=0$

$\Leftrightarrow (n-12)(n^2+14n+168)=0$

Dễ thấy với $n\in\mathbb{N}$ thì $n^2+14n+168>0$

Do đó $n-12=0\Rightarrow n=12$

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
29 tháng 2 2020 lúc 19:16

Bài 10:

$a^2+b^2=c^2+d^2$

$\Leftrightarrow (a+b)^2-(c+d)^2=2ab-2cd$

Có $2ab-2cd$ chẵn với $a,b,c,d$ nguyên dương

$\Rightarrow (a+b)^2-(c+d)^2$ chẵn.

$\Rightarrow a+b,c+d$ phải có cùng tính chẵn lẻ.

$\Rightarrow a+b+c+d$ chẵn

Mà $a+b+c+d\geq 4$ với mọi $a,b,c,d$ nguyên dương

Do đó $a+b+c+d$ là hợp số (đpcm)

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
5 tháng 3 2020 lúc 14:53

Bài 1:

Ta có: $A=3n^3-5n^2+3n-5=n^2(3n-5)+(3n-5)=(3n-5)(n^2+1)$

Để $A$ là số nguyên tố thì 1 trong 2 thừa số $3n-5$ hoặc $n^2+1$ bằng $1$

Nếu $3n-5=1\Rightarrow n=2$. Thay vào $A=5\in\mathbb{P}$ (thỏa mãn)

Nếu $n^2+1=1\Rightarrow n=0\Rightarrow A=-5$ không phải số nguyên tố (loại)

Vậy $n=2$

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
5 tháng 3 2020 lúc 15:07

Bài 2:

a)

1.

$A=n^3+2n^2-3=(n^3-1)+2(n^2-1)=(n-1)(n^2+n+1)+2(n-1)(n+1)$

$=(n-1)(n^2+n+1+2n+2)=(n-1)(n^2+3n+3)$

Để $A$ là số nguyên tố thì 1 trong 2 số $n-1,n^2+3n+3$ phải bằng $1$

Dễ thấy với $n\in\mathbb{N}$ thì $n^2+3n+3>1$. Do đó $n-1=1\Rightarrow n=2$

Khi đó $A=13$ là snt (thỏa mãn)

2.

$A=n^3+2n^2-3=2013$

$\Leftrightarrow n^3+2n^2-2016=0$

$\Leftrightarrow n^2(n-12)+14n(n-12)+168(n-12)=0$

$\Leftrightarrow (n-12)(n^2+14n+168)=0$

Dễ thấy với $n\in\mathbb{N}$ thì $n^2+14n+168>0$

Do đó $n-12=0\Rightarrow n=12$

b)

$B=n^4-n^3-6n^2+7n-21=n^2(n^2-n-6)+7(n-3)$

$=n^2(n-3)(n+2)+7(n-3)=(n-3)(n^3+2n^2+7)$

Để $B$ là snt thì 1 trong 2 thừa số $n-3$ hoặc $n^3+2n^2+7$ phải bằng $1$

Dễ thấy $n^3+2n^2+7>1$ với mọi $n$ tự nhiên

Do đó $n-3=1\Rightarrow n=4$

Thay vào $B$ thu được $B=103$ là số nguyên tố.

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
5 tháng 3 2020 lúc 15:14

Bài 3:

a)

$A-B=x^4+4-(x^4+x^2+1)=3-x^2\leq 3$ do $x^2\geq 0$

Do đó $(A-B)_{\max}=3$. Giá trị này đạt tại $x=0$

b)

$A=x^4+4=(x^2)^2+2^2+2.x^2.2-4x^2$

$=(x^2+2)^2-(2x)^2=(x^2+2-2x)(x^2+2+2x)$

$B=x^4+x^2+1=(x^2)^2+1+2x^2-x^2$

$=(x^2+1)^2-x^2=(x^2+1-x)(x^2+1+x)$

c)

Để $A$ là snt thì 1 trong 2 thừa số $x^2+2-2x, x^2+2+2x$ phải bằng $1$

Vì $x^2+2-2x\leq x^2+2+2x$ với $x\in\mathbb{N}$ nên $x^2+2-2x=1$

$\Leftrightarrow x^2-2x+1=0\Leftrightarrow (x-1)^2=0\Rightarrow x=1$

Thay vào $A$ thì $A=5$ là snt

Thay vào $B$ thì $B=3$ là snt

Vậy $x=1$

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
5 tháng 3 2020 lúc 15:48

Bài 4:

a) Xét các TH sau:

Nếu $n=6k+1$

$n\equiv 1\pmod 3$

$2^n\equiv (-1)^n=(-1)^{6k+1}\equiv -1\pmod 3$

$\Rightarrow n.2^n+1\equiv 1.(-1)+1\equiv 0\pmod 3$

Hay $n.2^n+1\vdots 3$

Nếu $n=6k+2$

$n\equiv 2\pmod 3$

$2^n\equiv (-1)^n=(-1)^{6k+2}\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow n.2^n+1\equiv 2.1+1\equiv 0\pmod 3$

Hay $n.2^n+1\vdots 3$

Tương tự với các TH $n=6k+3, 6k+4, 6k+5$ cuối cùng ta thấy để $n.2^n+1\vdots 3$ thì $n$ có dạng $6k+1, 6k+2$

b)

$B=12n^2-5n-25=4n(3n-5)+5(3n-5)=(4n+5)(3n-5)$

Để $B$ nguyên tố thì $4n+5$ hoặc $3n-5$ bằng $1$

Dễ thấy $n\in\mathbb{N}$ thì $4n+5>1$. Do đó $3n-5=1\Rightarrow n=2$

Thay vào biểu thức $B$ thì $B=13$ là snt

c)

$C=8n^2+10n+3=4n(2n+1)+3(2n+1)=(4n+3)(2n+1)$

Với $n\in\mathbb{N}$ thì $4n+3>1$ nên cần có $2n+1=1$

$\Rightarrow n=0$

Thay vào $C$ thì $C=3$ là số nguyên tố. Vậy.......

d)

Xét $n=4k(k\in\mathbb{N})$ thì $D=\frac{n^2+3n}{4}=\frac{n(n+3)}{4}=k(4k+3)$

Để $D$ nguyên tố thì $k$ hoặc $4k+3$ bằng $1$

Với $k\in\mathbb{N}$ thì $4k+3>1$ nên $k=1$

Khi $k=1\Rightarrow D=7$ (thỏa mãn)

Xét $n=4k+1$ thì $D=(k+1)(4k+1)$. Để $D$ nguyên tố thì cần phải có 1 thừa số bằng $1$. Mà $k+1\leq 4k+1$ nên

$k+1=1\Rightarrow k=0$. Khi đó $D=1$ không phải số nguyên tố

Xét $n=4k+2$ thì $D$ không phải số nguyên (loại)

Xét $n=4k+3$ thì $D$ không phải số nguyên (loại)

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
5 tháng 3 2020 lúc 15:54

Bài 5:

a) Gọi $d$ là ước chung lớn nhất của $5n+1$ và $6n+1$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 5n+1\vdots d\\ 6n+1\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow (6n+1)-(5n+1)=n\vdots d\)

\(\left\{\begin{matrix} n\vdots d\\ 5n+1\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1\)

Do đó $5n+1$ và $6n+1$ nguyên tố cùng nhau

b) Gọi $d$ là ƯCLN của $2n-1$ và $2n+1$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2n-1\vdots d\\ 2n+1\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow (2n+1)-(2n-1)\vdots d\)

$\Leftrightarrow 2\vdots d$

Mà $2n+1$ lẻ nên ước của nó là $d$ cũng phải lẻ.

Do đó $d=1$

Suy ra $2n-1,2n+1$ nguyên tố cùng nhau.

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
5 tháng 3 2020 lúc 16:16

Bài 6:

a) Đặt $a+1=p$

Khi đó:

$4a^2+8a+5=4(a^2+2a+1)+1=4(a+1)^2+1=4p^2+1$

$6a^2+12a+7=6(a^2+2a+1)+1=6p^2+1$

Vậy cần tìm số nguyên tố $p$ sao cho $4p^2+1, 6p^2+1$ cũng là số nguyên tố.

Xét các TH sau:

$p$ chia hết cho $5\Rightarrow p=5$. Thay vào $4p^2+1, 6p^2+1$ thấy thỏa mãn.

$p$ không chia hết cho $5\Rightarrow p^2\equiv 1,4\pmod 5$

$p^2\equiv 1\pmod 5\rightarrow 4p^2+1\equiv 0\pmod 5$ hay $4p^2+1\vdots 5\Rightarrow 4p^2+1=5\Rightarrow p=1$ (vô lý)

$p^2\equiv 4\pmod 5\Rightarrow 6p^2+1\equiv 0\pmod 5$ hay $6p^2+1\vdots 5\Rightarrow 6p^2+1=5\Rightarrow p^2=\frac{2}{3}$ (vô lý)

Vậy $p=5\Rightarrow a=4$

b)

Nếu $p$ là số nguyên tố khác $3$ thì $p$ không chia hết cho $3$

$\Rightarrow p\equiv \pm 1\pmod 3\Rightarrow p^2\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow 2012p^2\equiv 2012\equiv 2\pmod 3$

Mặt khác: $3n\equiv 0\pmod 3$

$2014\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow A= 3n+2014+2012p^2\equiv 2+0+1\equiv 0\pmod 3$

$\Rightarrow A=3n+2014+2012p^2\vdots 3$

Dễ thấy nó cũng lớn hơn $3$ với $p\in\mathbb{P}$ nên $A$ là hợp số.

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
5 tháng 3 2020 lúc 16:22

Bài 10:

$a^2+b^2=c^2+d^2$

$\Leftrightarrow (a+b)^2-(c+d)^2=2ab-2cd$

Có $2ab-2cd$ chẵn với $a,b,c,d$ nguyên dương

$\Rightarrow (a+b)^2-(c+d)^2$ chẵn.

$\Rightarrow a+b,c+d$ phải có cùng tính chẵn lẻ.

$\Rightarrow a+b+c+d$ chẵn

Mà $a+b+c+d\geq 4$ với mọi $a,b,c,d$ nguyên dương

Do đó $a+b+c+d$ là hợp số (đpcm)

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
5 tháng 3 2020 lúc 16:25

Bài 11:
$p=n^3-n^2-7n+10=n^3-2n^2+n^2-2n-5n+10$

$=n^2(n-2)+n(n-2)-5(n-2)=(n^2+n-5)(n-2)$

Để $p$ là số nguyên tố thì $n^2+n-5$ hoặc $n-2$ phải bằng $1$

Nếu $n^2+n-5=1$

$\Leftrightarrow n^2+n-6=0\Leftrightarrow (n+3)(n-2)=0$

$\Rightarrow n=2\Rightarrow p=0$ (vô lý)

Nếu $n-2=1\Rightarrow n=3$

$\Rightarrow p=7$ là snt (t.m)

Vậy $n=3$

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
5 tháng 3 2020 lúc 16:31

Bài 9:

Đặt \(\underbrace{111....1}_{p-1}=a\Rightarrow 9a+1=10^{p-1}\)

Với $p\geq 7$ và $p$ nguyên tố thì $(10,p)=1$ và $(9,p)=1$. Do đó áp dụng định lý Fermat nhỏ:

$10^{p-1}\equiv 1\pmod p$

$\Leftrightarrow 9a+1\equiv 1\pmod p$

$\Rightarrow 9a\equiv 0\pmod p$

$\Rightarrow a\equiv 0\pmod p$ (do $(9,p)=1$)

Ta có đpcm.

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
5 tháng 3 2020 lúc 16:34

Bài 8:

Nếu $p\vdots 3$ thì để $p$ là snt thì $p=3$

Khi đó $p^2+14=23$ là số nguyên tố

Nếu $p$ không chia hết cho $3$

$\Rightarrow p\equiv \pm 1\pmod 3\Rightarrow p^2\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow p^2+14\equiv 15\equiv 0\pmod 3$

Mà $p^2+14>3$ nên $p^2+14$ không thể là số nguyên tố (trái với giả thiết)

Vậy $p=3$

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
5 tháng 3 2020 lúc 17:04

Bài 7:

TH1: $p$ chẵn $\Rightarrow p=2$

Chọn các stn $n=2k$ với $k\geq 1$ thì $2^n-n=2^{2k}-2k$ đều chia hết cho $p=2$

Có vô số tự nhiên $k$ nên có vô số số tự nhiên $n$

TH2: $p$ lẻ. Áp dụng định lý Fermat nhỏ:

$2^{p-1}\equiv 1\pmod p$

$\Rightarrow 2^{k(p-1)}\equiv 1\pmod p$ với $k\in\mathbb{N}$

Chọn $n=k(p-1)$ và $k\equiv -1\pmod p$

Khi đó: 2^n-n=2^{k(p-1)}-k(p-1)\equiv 1-(-1)(-1)\equiv 0\pmod p$

Vậy chọn $n=k(p-1)$ với $k\equiv -1\pmod p$ thì $2^n-n\vdots p$. Có vô số số tự nhiên $k\equiv -1\pmod p$ nên có vô số số tự nhiên $n$.

Từ 2 TH trên ta suy ra đpcm.

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Big City Boy
Xem chi tiết
Trúc Giang
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Trúc Giang
Xem chi tiết
Miko
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Thương Thương
Xem chi tiết
pro2k7
Xem chi tiết
Yuan Kat
Xem chi tiết