Question

Tìm các số tự nhiên a>1 để biểu thức \(M=a^4-5a^2-6a-5\) có giá trị là số nguyên tố

Answer 1

\(M=a^4+a^3+a^2-a^3-a^2-a-5a^2-5a-5\)

\(M=a^2\left(a^2+a+1\right)-a\left(a^2+a+1\right)-5\left(a^2+a+1\right)\)

\(M=\left(a^2+a+1\right)\left(a^2-a-5\right)\)

M là số nguyên tố khi và chỉ khi \(a^2+a+1\) là SNT và \(a^2-a-5=1\)

\(\Rightarrow a^2-a-6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=3\\a=-2\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Thay \(a=3\) vào ta được \(a^2+a+1=13\) là SNT (thỏa mãn)

Vậy \(a=3\)