Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.Chứng minh rằng:
\(ab+bc+ca>\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\)
Mn lm giúp mik nha~~ UwU
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.Chứng minh:\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2<2\left(ab+bc+ca\right)\)
Ta có :
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) (1)
Vì \(a,b,c\)là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên ta có :
\(a^2< a.\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow a^2< ab+ac\)
Tương tự :
\(b^2< ab+bc\)
\(c^2< ca+bc\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\) (2)
Từ (1) và (2)
=> Đpcm
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
non vãi loonf đến câu này còn đéo bt ko bt đi học để làm gì
cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác .Chứng minh rằng: 2(ab+bc+ca)>a2+b2+c2
: Nhầm đề bài rồi a^2 + b^2 + c^ 2 > 2(ab+bc+ac)
\(ab+bc=b\left(a+c\right)>b.b=b^2\)
\(bc+ca=c\left(a+b\right)>c.c=c^2\)
\(ca+ab=a\left(b+c\right)>a.a=a^2\)
\(2\left(ab+bc+ca\right)>a^2+b^2+c^2\)
bị đặc đặc cái tên shinichi koudo chú có hình shinichi đâu
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác chứng minh :
ab + bc + ca <= a2 +b2 +c2<= 2(ab+bc+ca)
ta có: \(a^2\)+\(b^2\)+\(c^2\)\(\ge\)ab+bc+ca
<=> \(a^2\)+\(b^2\)+\(c^2\)-ab-bc-ca\(\ge\)0
<=>2\(a^2\)+2\(b^2\)+2\(c^2\)-2ab-2bc-2ca\(\ge\)0
<=> (\(a^2\)-2ab+\(b^2\))+(\(b^2\)-2bc+\(c^2\))+(\(c^2\)-2ca+\(a^2\))\(\ge\)0
<=> \(\left(a-b\right)^2\)+\(\left(b-c\right)^2\)+\(\left(c-a\right)^2\)\(\ge\)0 (luôn đúng)
dấu = xảy ra khi a =b=c
a−b<c<=>a2+b2−2ab<c2" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">
b−c<a<=>b2+c2−2bc<a2" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">
a−c<b<=>a2+c2−2ac<b2" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">
2(a2+b2+c2)−2(ab+bc+ac)<a2+b2+c2<=>2(ab+ac+bc)>a2+b2+c2" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:16.38px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; padding:1px 0px; position:relative; white-space:nowrap; word-spacing:normal; word-wrap:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">
(đpcm)Bài này khó lắm tớ mới làm có vế trái thôi
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác.Chứng minh rằng:`sqrt{(a(b+c))/(a^2+(b+c)^2)}+sqrt{(b(c+a))/(b^2+(c+a)^2)}+sqrt{(c(a+b))/(c^2+(a+b)^2)}>sqrt2`
Áp dụng bđt AM - GM ta có \(\sqrt{\dfrac{a^2+\left(b+c\right)^2}{2a\left(b+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a^2+\left(b+c\right)^2}{2a\left(b+c\right)}+1\right)=\dfrac{1}{2}\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2a\left(b+c\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a\left(b+c\right)}{a^2+\left(b+c\right)^2}}\ge\dfrac{2\sqrt{2}a\left(b+c\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\).
Tương tự,...
Cộng vế với vế ta có \(\sqrt{\dfrac{a\left(b+c\right)}{a^2+\left(b+c\right)^2}}+\sqrt{\dfrac{b\left(c+a\right)}{b^2+\left(c+a\right)^2}}+\sqrt{\dfrac{c\left(a+b\right)}{c^2+\left(a+b\right)^2}}\ge\dfrac{4\sqrt{2}\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\). (*)
Mặt khác do a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác nên \(a\left(b+c-a\right)+b\left(c+a-b\right)+c\left(a+b-c\right)>0\Rightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\ge a^2+b^2+c^2\Rightarrow4\left(ab+bc+ca\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\). (**)
Từ (*) và (**) ta có đpcm.
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng \(^{a^2+b^2+c< 2}\) (ab+bc+ca)
nếu là \(a^2+b^2+c^2< 2\) thi minh lam dc
cho a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác.chứng minh rằng với mppoj p,q sao cho p+q=1 thì \(pa^2+qb^2>pqc^2\)
\(p+q=1\Rightarrow q=1-p\)
BĐT cần c/m trở thành:
\(pa^2+\left(1-p\right)b^2-p\left(1-p\right)c^2>0\)
\(\Leftrightarrow p^2c^2+\left(a^2-b^2-c^2\right)p+b^2>0\) (1)
\(\Delta=\left(a^2-b^2-c^2\right)^2-4b^2c^2=\left(a^2-b^2-c^2+2bc\right)\left(a^2-b^2-c^2-2bc\right)\)
\(=\left(a^2-\left(b-c\right)^2\right)\left(a^2-\left(b+c\right)^2\right)\)
\(=\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)\left(a-b-c\right)\left(a+b+c\right)< 0\) theo BĐT tam giác
\(\Rightarrow\) (1) luôn đúng
Ko xài delta thì biến đổi tương đương (1) xuống bằng cách thêm bớt là được:
\(\left(1\right)\Leftrightarrow p^2c^2+2.\dfrac{a^2-b^2-c^2}{2c}.pc+\left(\dfrac{a^2-b^2-c^2}{2c}\right)^2+b^2-\left(\dfrac{a^2-b^2-c^2}{2c}\right)^2>0\)
\(\Leftrightarrow\left(pc+\dfrac{a^2-b^2-c^2}{2c}\right)^2+\dfrac{4b^2c^2-\left(a^2-b^2-c^2\right)^2}{4c^2}>0\)
\(\Leftrightarrow\left(pc+\dfrac{a^2-b^2-c^2}{2c}\right)^2+\dfrac{\left(2bc+a^2-b^2-c^2\right)\left(2bc-a^2+b^2+c^2\right)}{4c^2}>0\)
\(\Leftrightarrow\Leftrightarrow\left(pc+\dfrac{a^2-b^2-c^2}{2c}\right)^2+\dfrac{\left[a^2-\left(b-c\right)^2\right]\left[\left(b+c\right)^2-a^2\right]}{4c^2}>0\)
\(\Leftrightarrow\Leftrightarrow\left(pc+\dfrac{a^2-b^2-c^2}{2c}\right)^2+\dfrac{\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)}{4c^2}>0\) (luôn đúng theo BĐT tam giác)
Cho tam giác ABC có a,b,c,ma,mb,mc,R lần lượt là độ dài các cạnh BC,CA,AB, độ dài các đường trung tuyến kẻ từ A,B,C và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Biết rằng: \(\frac{a^2+b^2}{mc}+\frac{b^2+c^2}{ma}+\frac{c^2+a^2}{mb}=12R\). Chứng minh rằng tam giác ABC đều
chứng minh rằng , nếu a , b , c là độ dài các cạnh của một tam giác thì : a2 + b2 + c2 < 2( ab + bc + ca )
Áp dụng bất đẳng thức tam giác có a+b>c
<=>ac+bc > c2 (c>0)
<=>a+b
Tương tự có:ab+cb>b2 ac+ab >a2ab+bc>b2,ac+ab>a2
Cộng các bất đẳng thức trên ra điều phải chứng minh
2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ac)<a2+b2+c2<=>2(a2+b2+c2)>a2+b2+c2 (dpcm)