câu 6 là với mọi a,b,c lớn hơn hoặc bằng 1 nhé

help me !!!!!!

Làm tạm một câu rồi đi chơi, lát làm cho.

4)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :

\(VT\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1}=9\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

2/ Cô: \(\frac{2a}{b}+\frac{b}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{a.a.b}{b.b.c}}=3\sqrt[3]{\frac{a^3}{abc}}=\frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}\)

Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế thu được:

\(3.VT\ge3.VP\Rightarrow VT\ge VP^{\left(Đpcm\right)}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b= c

Ta có: x² – x – 12 = x² – x – 16 + 4

= (x² – 16) – (x – 4)

= (x – 4).(x + 4) – (x – 4)

= (x – 4).(x + 4 – 1)

= (x – 4).(x + 3)

Nhìn sơ qua hình như bài có thiếu đk gì đó...

Băng Băng 2k6, Vũ Minh Tuấn, Nguyễn Việt Lâm, HISINOMA KINIMADO, Akai Haruma, Inosuke Hashibira,

Nguyễn Thị Ngọc Thơ, @tth_new

help me! cần gấp lắm ạ!

thanks nhiều!

\(a;b;c\ge1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^3+1\ge a^2+1\\b^3+1\ge b^2+1\\c^3+1\ge c^2+1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\ge\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}\)

Do đó ta chỉ cần chứng minh: \(\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}\ge\frac{3}{1+abc}\)

Sử dụng BĐT quen thuộc: \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\) với \(xy\ge1\)

Ta có: \(\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}+\frac{1}{1+abc}\ge\frac{2}{1+\sqrt{a^3b^3}}+\frac{2}{1+\sqrt{abc^3}}\ge\frac{4}{1+abc}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}\ge\frac{3}{1+abc}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Chứng minh: 

\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\) (1) với  a; b \(\ge\)1

Thật vậy: 

(1) <=> \(\frac{2+a^2+b^2}{1+a^2+b^2+a^2b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\)

<=> \(2+a^2+b^2+2ab+a^3b+ab^3\ge2+2a^2+2b^2+2a^2b^2\)

<=> \(a^3b+ab^3+2ab-a^2-b^2-2a^2b^2\ge0\)

<=> \(ab\left(a^2+b^2-2ab\right)-\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\)

<=> \(\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)đúng với a; b \(\ge\)1

Vậy (1) đúng 

Áp dụng ta có:

\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+abc}\ge\frac{2}{1+ab}+\frac{2}{1+c\sqrt{abc}}\)

\(=2\left(\frac{1}{1+\left(\sqrt{ab}\right)^2}+\frac{1}{1+\left(\sqrt{c\sqrt{abc}}\right)^2}\right)\ge2.\frac{2}{1+\sqrt{ab}.\sqrt{c\sqrt{abc}}}=\frac{4}{1+\sqrt{abc\sqrt{abc}}}\)

\(\ge\frac{4}{1+\sqrt{abc.abc}}=\frac{4}{1+abc}\)

=> \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\ge\frac{3}{1+abc}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c

Ta chứng minh BĐT sau với các số dương:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

Thật vậy, BĐT tương đương: \(\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Áp dụng:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) ; \(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\) ; \(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\)

Cộng vế với vế:

\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{2}{c+a}\)

b.

Ta có:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\Rightarrow\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}\ge\dfrac{12}{a+b}\) (1)

\(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{4}{b+c}\Rightarrow\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\ge\dfrac{8}{b+c}\) (2)

\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\) (3)

Cộng vế với vế (1); (2) và (3):

\(\dfrac{4}{a}+\dfrac{5}{b}+\dfrac{3}{c}\ge4\left(\dfrac{3}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)