ABCD là hình bình hành

=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔOAK và ΔOCH có

\(\widehat{OAK}=\widehat{OCH}\)(hai góc so le trong, AK//CH)

OA=OC

\(\widehat{AOK}=\widehat{COH}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAK=ΔOCH

=>OK=OH

=>O là trung điểm của KH

Xét ΔOAE và ΔOCF có

\(\widehat{EAO}=\widehat{FCO}\)(hai góc so le trong, AE//CF)

OA=OC

\(\widehat{AOE}=\widehat{COF}\)

Do đó: ΔOAE=ΔOCF

=>OE=OF

=>O là trung điểm của EF

Xét tứ giác EKFH có

O là trung điểm chung của EF và KH

=>EKFH là hình bình hành

Ta có DAOK = DCOH Þ OK =OH, DDOE = DBOF Þ OE = OF Þ EHFK là hình bình hành

a) Giả sử \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}\right)+\left(\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC}\right)=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\) (đúng do tứ giác ABCD là hình bình hành).
b) \(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{FN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{CN}\)
\(=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{CN}\right)+\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{FC}\right)\).
Do các tứ giác AMOE, MOFB, OFCN, EOND cũng là các hình bình hành.
Vì vậy \(\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{FO}=\overrightarrow{BM};\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{ED}\).
Do đó: \(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{FN}=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{CN}\right)+\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{FC}\right)\)
\(=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}\right)+\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{ED}\right)\)
\(=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}\) (Đpcm).

ABCD là hbh=> AD//BC=> góc DAC= góc ACB và AO=OC

Xét tam giác AOE và tam giác COF ta có

góc AOE = góc COF (2 góc đối xừng)

AO=OC

góc DAC= góc ACB

=> tam giác AOE = tam giác COF=> OE=OF

CHứng minh tương tự ta có tam giác AOK= tam giác COH=> OK=OH

Xét tứ giác EHFK có EH và FK là 2 đường chéo cắt nhau tại O

lại có OE=OF
          OH=OK

=> EHFk là hình bình hành (do 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Đề sai rồi, em kiểm tra lại, EK, HF và BD ko hề đồng quy

Cho hình bình hành ABCD, lấy điểm M trên BD sao cho MB < MD. Đường thẳng qua M và song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Đường thẳng qua M song song với AD cắt AB và AC lần lượt tại K và H.

1. Chứng minh: các đường thẳng EK, HF, BD đồng quy

2. Cho S_MKF = 9 cm² ; S_MEH = 25 cm² . Tính S_ABCD.

Đặt tên các điểm như hình vẽ.

Các tứ giác AEMK, BKMF, CFMH, DHME đều là hình bình hành (hai căpj cạnh đối song song theo giả thiết)

\(\Rightarrow MK=BF\) ; \(EF=CD\); \(MH=BC\)

Áp dụng định lý Talet cho tam giác BCD: \(\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{MF}{CD}\) \(\Rightarrow\dfrac{MK}{MH}=\dfrac{MF}{EF}\)

\(\Rightarrow KF||EH\) (Talet đảo)

\(\Rightarrow KFHE\) là hình thang

Gọi G là giao điểm EK và HF, theo bổ đề hình thang do M là giao điểm 2 đường chéo hình thang \(\Rightarrow MG\) đi qua trung điểm I và J của 2 đáy KF và EH hay G, M, I, J thẳng hàng

Mặt khác BKMF và DEMH là hbh \(\Rightarrow B;I;M\) và \(D;J;M\) thẳng hàng \(\Rightarrow B;D;I;J;M\) thẳng hàng (do \(I;J;M\) thẳng hàng)

 \(\Rightarrow B;D;G\) thẳng hàng

Hay EK, HF, BD đồng quy tại G

b.

Từ E và H hạ vuông góc xuống KF tại L và N

\(\Rightarrow ELNH\) là hình chữ nhật (2 cặp cạnh đối song song và 1 góc vuông) \(\Rightarrow EL=HN\)

\(S_{EFK}=\dfrac{1}{2}EL.KF\) ; \(S_{HFK}=\dfrac{1}{2}HN.KF\)

\(\Rightarrow S_{EFK}=S_{HFK}\Rightarrow S_{EMK}+S_{MFK}=S_{HFM}+S_{MFK}\)

\(\Rightarrow S_{EMK}=S_{HMF}\Rightarrow\dfrac{1}{2}S_{AEMK}=\dfrac{1}{2}S_{SFMH}\Rightarrow S_{AEMK}=S_{SFMH}\)

Hai tam giác MKF và MEH đồng dạng (g.g) \(\Rightarrow\dfrac{S_{MFK}}{S_{MHE}}=\left(\dfrac{MF}{ME}\right)^2=\dfrac{9}{25}\)

\(\Rightarrow\dfrac{MF}{ME}=\dfrac{3}{5}\)

Từ K kẻ KO vuông góc EF

\(\Rightarrow\dfrac{S_{EMK}}{S_{MFK}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}KO.ME}{\dfrac{1}{2}KO.MF}=\dfrac{ME}{MF}=\dfrac{5}{3}\)

\(\Rightarrow S_{EMK}=\dfrac{5}{3}.9=15\left(cm^2\right)\)

\(\Rightarrow S_{ABCD}=2.9+2.25+4.15=128\left(cm^2\right)\)

   a) *) Chứng minh AMNB là hình bình hành:

Do O là giao điểm của AC và BD

Mà ABCD là hình bình hành (gt)

⇒ O là trung điểm của AC và BD

Do MN // AB (gt)

⇒ OM // CD

∆ACD có

O là trung điểm AC

OM // CD

⇒ M là trung điểm AD

⇒ AM = AD : 2   (1)

Do MN // AB (gt)

⇒ ON // AB

∆ABC có:

O là trung điểm AC (cmt)

ON // AB (cmt)

⇒ N là trung điểm BC

⇒ BN = BC : 2   (2)

Do ABCD là hình bình hành (gt)

⇒ AD // BC

⇒ AM // BN

Từ (1) và (2) ⇒ AM = BN

Tứ giác AMNB có:

AM // BN (cmt)

AM = BN (cmt)

⇒ AMNB là hình bình hành

*) Chứng minh APCQ là hình bình hành

Do ABCD là hình bình hành (gt)

⇒ AB // CD

⇒ AP // CQ

Tứ giác APCQ có:

AP // CQ (cmt)

AP = CQ (gt)

⇒ APCQ là hình bình hành

c) Do O là trung điểm AC (cmt)

M là trung điểm AD (cmt)

⇒ OM là đường trung bình của ∆ACD

⇒ OM = CD : 2   (3)

Do O là trung điểm AC (cmt)

N là trung điểm BC (cmt)

⇒ ON là đường trung bình của ∆ABC

⇒ ON = AB : 2

Mà AB = CD (do ABCD là hình bình hành)

⇒ OM = ON

⇒ O là trung điểm MN

Do APCQ là hình bình hành (cmt)

O là trung điểm AC (cmt)

⇒ O là trung điểm PQ

Tứ giác MPNQ có:

O là trung điểm MN (cmt)

O là trung điểm PQ (cmt)

⇒ MPNQ là hình bình hành

⇒ MP // NQ và MQ = NP