\(a^3+b^3=2021c^3\\ \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=2022c^3⋮6\left(2022⋮6\right)\left(1\right)\)

Mặt khác: \(\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a+b+c\right)=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)+\left(b-1\right)b\left(b+1\right)+\left(c-1\right)c\left(c+1\right)\)

Có \(\left(a-1\right)a\left(a+1\right);\left(b-1\right)b\left(b+1\right);\left(c-1\right)c\left(c+1\right)\) là 3 cặp số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6

Do đó \(\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a+b+c\right)⋮6\)

Kết hợp (1) ta được đpcm

\(41\cdot36+36\cdot59+400\)

\(=36\cdot\left(41+59\right)+400\)

\(=36\cdot100+400\)

\(=3600+400\)

\(=4000\)

___________

\(3^3-2^3:2+11\cdot5^2\)

\(=27-8:2+11\cdot25\)

\(=27-4+\left(10+1\right)\cdot25\)

\(=27-4+250+25\)

\(=23+275\)

\(=298\)

ai giúp với hicc

\(a=b=c=1\rightarrow P=5\)ta se cm P=5 la gtln cua P that vay ta se cm

\(5p^3+27r\ge18pq\Leftrightarrow5p^3+27r-18pq\ge0\).theo bdt schur

\(LHS\ge5p^3+3p\left(4q-p^2\right)-18pq=2p\left(p^2-3q\right)\ge0\)

Vay \(P_{max}=5\leftrightarrow a=b=c=1\)

Đặt P = F(a;b;c).

Xét hiệu \(F\left(a;b;c\right)-F\left(t;t;c\right)=2\left(ab+bc+ca-t^2-2tc\right)+c\left(t^2-ab\right)\)

\(=2\left(ab-t^2\right)-c\left(ab-t^2\right)+2c\left(a+b-2t\right)\)

\(=2\left(ab-t^2\right)-c\left(ab-t^2\right)\)

\(=\left(ab-t^2\right)\left(2-c\right)\le0\) với \(t=\frac{a+b}{2}\). Do đó \(f\left(a;b;c\right)\le f\left(t;t;c\right)\)

Ta sẽ chứng minh \(f\left(t;t;c\right)\le5\) hay \(2\left(t^2+2tc\right)-t^2c\le5\)

\(\Leftrightarrow\left(2-c\right)t^2+4tc-5\le0\). Thật vậy từ giả thiết suy ra \(c=3-2t\).Mặt khác do c > 0 và t > 0 nên \(0< t< \frac{3}{2}\)

Do đó ta cần chứng minh \(\left(2t-1\right)t^2+4t\left(3-2t\right)-5\le0\) với \(0< t< \frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)^2\left(2t-5\right)\le0\). BĐT này đúng với mọi \(0< t< \frac{3}{2}\)

P/s: Is it true?? Em mới học dồn biến nên ko chắc đâu..

Ta có: ab+bc+ca=abc

nên abc-ab-bc-ac=0

Ta có: a+b+c=1

nên a+b+c-1=0

Ta có: abc-ab-bc-ac+a+b+c-1=0

\(\Leftrightarrow\left(abc-ab\right)-\left(bc-b\right)-\left(ac-a\right)+\left(c-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow ab\left(b-1\right)-b\left(c-1\right)-a\left(c-1\right)+\left(c-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow b\left(c-1\right)\left(a-1\right)-\left(c-1\right)\left(a-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1\\c=1\end{matrix}\right.\)

\(3-2n⋮n+1\)

\(\Leftrightarrow-2n+3⋮n+1\)

\(\Leftrightarrow-2\left(n+1\right)+5⋮n+1\)

\(\Leftrightarrow5⋮n+1\)

\(\Leftrightarrow n+1\inƯ\left(5\right)\)

\(\RightarrowƯ\left(5\right)\in\left\{\pm1;\pm5\right\}\)

Ta có bảng sau:

mình chưa hiểu, giải thích từ đầu đến cuối đi