a/

Ta có

MB=MC (gt); MG=MI (gt) => BICG là hình bình hành (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành)

Ta có

\(GN=\dfrac{BG}{2}\) (tính chất trọng tâm tg)

Mà \(BE=GE=\dfrac{BG}{2}\) (gt)

=> GN=GE

Cứng minh tương tự ta cũng có GM=GF

=> MNFE là hình bình hành (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành)

b/

Khi MNFE là HCN \(\Rightarrow EF\perp FN\) (1)

Xét tg AGC có

FA=FG; NA=NC => FN là đường trung bình của tg AGC

=> FN//CG (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow CG\perp EF\) (3)

Xét tg ABG có

EB=EG; FA=FG => EF là đường trung bình của tg ABG => EF//AB (4)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow CG\perp AB\) => CG là đường cao của tg ABC

Mà CG cũng là trung tuyến của tg ABC (trong tg 3 đường trung tuyến đồng quy)

=> tg ABC cân tại C (Tam giác có đường cao đồng thời là đường trung tuyến là tg cân)

c/

Khi BICG là hình thoi 

\(\Rightarrow GI\perp BC\) (trong hình thoi hai đường chéo vuông góc với nhau)

\(\Rightarrow AM\perp BC\) => AM là đường cao của tg ABC

Mà AM cũng là trung tuyến của tg ABC

=> tg ABC cân tại A (trong tg đường cao đồng thời là đường trung tuyến thì tg đó là tg cân)

a: Sửa đề; AICG là hình bình hành

Xét tứ giác AICG có

N là trung điểm chung của AC và IG

nên AICG là hình bình hành

Xét ΔCAB có CM/CB=CN/CA

nên MN//AB và MN=1/2AB(1)

Xét ΔGBA có GF/GA=GE/GB

nên FE//AB và FE=1/2AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra MN//FE và MN=FE
=>MNFE là hình bình hành

b: Để MNFE là hình chữ nhật thì MN vuông góc với FN

=>CG vuông góc với AB

=>ΔCAB cân tại C

=>CA=CB

mk chỉ bik làm câu a thôi

a: Xét tứ giác BICG có

M là trung điểm chung của BC và IG

nên BICG là hình bình hành

Xét ΔCAB có CN/CA=CM/CB

nên NM//AB và NM=AB/2

Xét ΔGAB có GF/GA=GE/GB

nên FE//AB và FE=AB/2

=>NM//FE và NM=FE

=>NMEF là hìnhbình hành

b: Để NMEF là hình chữ nhật thì NM vuông góc với ME

=>CG vuông góc với AB

=>CA=CB

c: Khi BIGC là hình thoi thì GI vuông góc với CB tại M

=>AM vuông góc với BC tại M

=>ΔBAC cân tại A

=>AB=AC

a: Xét tứ giác BICG có

M là trung điểm của BC

M là trung điểm của IG

Do đó BICG là hình bình hành

Xét ΔABC có

N là trung điểm của CA

M là trung điểm của CB

Do đó: NM là đường trung bình

=>NM//AB và NM=AB/2(1)

Xét ΔGAB có

F là trung điểm của GA

E là trung điểm của GB

Do đó: FE là đường trung bình

=>FE//AB và FE=AB/2(2)

Từ (1) và (2) suy raMN//FE vàMN=FE

=>MNFE là hình bình hành

b: Để MNFE là hình chữ nhật thì MN\(\perp\)NF

=>CG\(\perp\)AB

Xét ΔCAB có

CG là đường trung tuyến
CG là đường cao

Do đó: ΔCAB cân tại C

hay CA=CB

LƯU Ý

Các bạn học sinh KHÔNG ĐƯỢC đăng các câu hỏi không liên quan đến Toán, hoặc các bài toán linh tinh gây nhiễu diễn đàn. Online Math có thể áp dụng các biện pháp như trừ điểm, thậm chí khóa vĩnh viễn tài khoản của bạn nếu vi phạm nội quy nhiều lần.

Chuyên mục Giúp tôi giải toán dành cho những bạn gặp bài toán khó hoặc có bài toán hay muốn chia sẻ. Bởi vậy các bạn học sinh chú ý không nên gửi bài linh tinh, không được có các hành vi nhằm gian lận điểm hỏi đáp như tạo câu hỏi và tự trả lời rồi chọn đúng.

Mỗi thành viên được gửi tối đa 5 câu hỏi trong 1 ngày

Các câu hỏi không liên quan đến toán lớp 1 - 9 các bạn có thể gửi lên trang web h.vn để được giải đáp tốt hơn.

Nối A vs N

a)xét tg CEF có: N là t/đ của EF(gt) và A là t/đ của FC (vì C đx vs F qua A) => AN là đg trung bình của tg CEF

=> AN//CE và AN =1/2. CE

=> AN=1/2.BC(vì  BC = CE) => AN =BM(vì BM = 1/2. BC)

xét tg ANMB có: AN=MB (cmt) và AN//MB ( vì AN// CE ; B,M,C,E thẳng hàng)   => tg ANMB là hbh=> MN//AB và AB=MN   (1)   ; 

xét tg AGD có: I là t/đ của AG (gt) và K là t/đ của DG(gt) =>  IK là đg trung bình của tg AGD => IK=1/2.AD và IK //AD 

Mà B là t/đ của AD (vì A đx vs D qua B) => AB=BD=1/2.AD=> IK=AB ( =1/2.AD)     (2)

Từ (1),(2)=> IK=MN

Ta có: MN// AB(cmt) ; B thuộc AD => MN//AD

Xét tg MNIK có: IK=MN (cmt) và IK//MN (cùng // AD) 

=> tg MNIK là hbh (đpcm)

b) Do  tg MNIK là hbh ( câu a)  mà G là gđ của IM và KN nên G là t/đ của IM là KN

=> IG=MG và KG=NG

Mặt khác: I là t/đ của AG(gt)=> IG=AI=> AI=IG=GM

   K là t/đ của DG(gt) => Dk=KG => DK=KG=GN

xét tg ABC có: AM là đg trung tuyến (gt)  và AI=IG=GM (cmt) => G là trọng tâm của tg ABC   (*)

xét tg DEF có: DN là đg trung tuyến (gt) và DK=KG=GN(cmt) => G là trọng tâm của tg DEF   (**)

Từ (*),(**) => G vừa là trọng tam của tg ABC vừa là trọng tâm của tg DEF

=> Tg ABC và tg DEF có cùng trọng tâm là G    (đpcm)

Tham khảo:

a) Ta có: M là trọng tâm của tam giác BCD

Nên M nằm trên trung tuyến BI (1)

Ta có: N là trọng tâm của tam giác ACD

Nên N nằm trên trung tuyến AI (2)

Từ (1) và (2) suy ra M và N thuộc mp (ABI)

b) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AG, BG

Ta có: HK // AB

          AB // MN

Suy ra MN // HK

Theo định lý Ta-let, ta có: \(\frac{{GM}}{{GH}} = \frac{{GN}}{{GK}} = \frac{{MN}}{{HK}}(1)\)

Ta có:\(\frac{{HK}}{{AB}} = \frac{1}{2},\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{1}{3}\)

Do đó \(\frac{{MN}}{{AB}}:\frac{{HK}}{{AB}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{MN}}{{HK}} = \frac{2}{3}(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra\(\frac{{GM}}{{GH}} = \frac{2}{3}GH = \frac{1}{2}GA \Rightarrow \frac{{GM}}{{\frac{1}{2}GA}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{GM}}{{GA}} = \frac{1}{3}\)

Chứng minh tương tự ta được\(\frac{{GN}}{{GB}} = \frac{1}{3}\)

c) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của BC, BD

Tam giác AHD có:\(\frac{{HM}}{{HD}} = \frac{{HQ}}{{HA}} = \frac{1}{3}\)

Suy ra: QM // AD

Do đó, tam giác QGM đồng dạng với tam giác DGA

Nên D, G, Q thẳng hàng

Ta có: QM // AD nên \(\frac{{QM}}{{AD}} = \frac{{HM}}{{HD}} = \frac{{HQ}}{{HA}} = \frac{1}{3}\)

Mà \(\frac{{QM}}{{AD}} = \frac{{QG}}{{GD}}\)

Do đó:\(\frac{{QG}}{{GD}} = \frac{1}{3}\)

Chứng minh tương tự ta được\(\frac{{GP}}{{GC}} = \frac{1}{3}\)

Suy ra điều cần chứng minh.