Để 2 số hữu tỉ đều là dương :

\(\dfrac{m+2}{5}>0\Rightarrow m>-2\left(1\right)\)

\(\dfrac{m-5}{-6}>0\Rightarrow\dfrac{5-m}{6}>0\Rightarrow m< 5\left(2\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow-2< m< 5\Rightarrow m\in\left\{-1;0;1;2;3;4\right\}\left(m\in Z\right)\)

Ta có : \(M=\frac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+1+5}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}+\frac{5}{\sqrt{x}+1}=1+\frac{5}{\sqrt{x}+1}\)

Để M nguyên thì 5 chia hết cho \(\sqrt{x}+1\)

Nên : \(\sqrt{x}+1\inƯ\left(5\right)=\left\{-5;-1;1;5\right\}\)

Ta có bảng : 

bài có nhầm đề không bạn? vì tử = mẫu thì M=1 rồi kìa

Nhầm đề bài :p

Đặt \(\sqrt{m^2+m+23}=k\) (\(k\in N\))

\(\Rightarrow m^2+m+23=k^2\)

\(\Leftrightarrow4m^2+4m+92=4k^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+1\right)^2+91=4k^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2k-2m-1\right)\left(2k+2m+1\right)=91\)

Ta có các cặp ước cùng dấu \(\left(\pm1;\pm91\right);\left(\pm91;\pm1\right);\left(\pm7;\pm13\right);\left(\pm13;\pm7\right)\)

Ví dụ: \(\left\{{}\begin{matrix}2k-2m-1=-1\\2k+2m+1=-91\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=-23\)

\(\left\{{}\begin{matrix}2k-2m-1=1\\2m+2m+1=91\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=22\)

Bạn tự xét các trường hợp còn lại

: Vì m là số nguyên nên căn bậc hai của(m^2+m+23) là số hữu tỷ thì cũng là số nguyên
Đăt căn bậc hai của(m^2+m+23)= a; Suy ra m^2+m+23=a^2; m^2+m-a^2+23=0 (1)
Phương trình(1) ẩn m có nghiệm nguyên khi 1^2- 4*(-a^2+23)= b^2 (denta là số chính phương)
Suy ra 4a^2- b^2 =91=7*13; (2a-b)(2a+b)=7*13
Suy ra {2a-b =7 Hoặc { 2a-b= -7
{2a+b =13 {2a +b= -13
giải ra ta được a= 5 hoặc a =-5
Với a =5 hoặc a=-5 ta có: m^2+m - 2=0; suy ra m= 1 hoặc m= -

Để biểu thức đã cho là số hữu tỉ thì \(m^2+m+23=k^2\) với \(k\in Q\)

\(\Leftrightarrow4m^2+4m+1+91=4k^2\)

\(\Leftrightarrow4k^2-\left(2m+1\right)^2=91\)

\(\Leftrightarrow\left(2k-2m-1\right)\left(2k+2m+1\right)=91\)

Phương trình ước số cơ bản, bạn tự giải