\(\Delta=\left(2m-1\right)^2-4\cdot\left(m+1\right)\cdot m\)

\(=4m^2-4m+4-4m^2-4m\)

\(=-8m+4\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 

\(\left\{{}\begin{matrix}m+1\ne0\\-8m+4>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\-8m>-4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m< \dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< \dfrac{1}{2}\)

Ta có: \(\text{Δ}=\left(1-4m\right)^2-4\left(3-2m\right)\left(1-2m\right)\)

\(=16m^2-8m+4-4\left(2m-3\right)\left(2m-1\right)\)

\(=16m^2-8m+4-4\left(4m^2-2m-6m+3\right)\)

\(=16m^2-8m+4-4\left(4m^2-8m+3\right)\)

\(=16m^2-8m+4-16m^2+32m-12\)

\(=24m-8\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

\(\left\{{}\begin{matrix}3-2m\ne0\\24m-8>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m\ne3\\24m>8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne\dfrac{3}{2}\\m>\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

b: \(\text{Δ}=\left(2m+3\right)^2-4\left(4m+2\right)\)

\(=4m^2+12m+9-16m-8\)

\(=4m^2-4m+1=\left(2m-1\right)^2>=0\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm

Theo đề, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x_1-5x_2=6\\x_1+x_2=2m+3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_1-5x_2=6\\2x_1+2x_2=4m+6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-7x_2=-4m\\2x_1=5x_2+6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{4}{7}m\\2x_1=\dfrac{20}{7}m+6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{4}{7}m\\x_1=\dfrac{10}{7}m+3\end{matrix}\right.\)

Theo đề, ta có: \(x_1x_2=4m+2\)

\(\Rightarrow4m+2=\dfrac{40}{49}m^2+\dfrac{12}{7}m\)

\(\Leftrightarrow m^2\cdot\dfrac{40}{49}-\dfrac{16}{7}m-2=0\)

\(\Leftrightarrow40m^2-112m-98=0\)

\(\Leftrightarrow40m^2-140m+28m-98=0\)

=>\(20m\left(2m-7\right)+14\left(2m-7\right)=0\)

=>(2m-7)(20m+14)=0

=>m=7/2 hoặc m=-7/10

b: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì (m+2)(m-4)<0

=>-2<m<4

a, Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi \(2\left(2m^2-3m-5\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-5\right)\left(m+1\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow-1< m< \dfrac{5}{2}\)

b, TH1: \(m^2-3m+2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=2\end{matrix}\right.\)

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

TH2: \(m^2-3m+2\ne0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m\ne2\end{matrix}\right.\)

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi \(-5\left(m^2-3m+2\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow m^2-3m+2>0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m>2\\m< 1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m>2\) hoặc \(m< 1\)

c, Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu \(x_1,x_2\) khi \(m^2-2m< 0\Leftrightarrow0< m< 2\)

Theo định lí Viet: \(x_1+x_2=2\left(m-1\right)\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(x_1+x_2< 0\Leftrightarrow2\left(m-1\right)< 0\Leftrightarrow m< 1\)

Vậy \(0< m< 1\)

a. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi:

\(\Delta=\left(2m-1\right)^2-4\left(m^2-1\right)=5-4m>0\)

\(\Rightarrow m< \dfrac{5}{4}\)

b. Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\x_1x_2=m^2-1\end{matrix}\right.\)

\(\left(x_1-x_2\right)^2=x_1-3x_2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=x_1-3x_2\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-1\right)^2-4\left(m^2-1\right)=x_1-3x_2\)

\(\Leftrightarrow x_1-3x_2=5-4m\)

Kết hợp hệ thức Viet ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\x_1-3x_2=5-4m\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\4x_2=6m-6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{m+1}{2}\\x_2=\dfrac{3m-3}{2}\end{matrix}\right.\)

Thế vào \(x_1x_2=m^2-1\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{m+1}{2}\right)\left(\dfrac{3m-3}{2}\right)=m^2-1\)

\(\Leftrightarrow m^2-1=0\Rightarrow m=\pm1\) (thỏa mãn)

|x1|=3|x2|

=>|2m+2-x2|=|3x2|

=>4x2=2m+2 hoặc -2x2=2m+2

=>x2=1/2m+1/2 hoặc x2=-m-1

Th1: x2=1/2m+1/2

=>x1=2m+2-1/2m-1/2=3/2m+3/2

x1*x2=m^2+2m

=>1/2(m+1)*3/2(m+1)=m^2+2m

=>3/4m^2+3/2m+3/4-m^2-2m=0

=>m=1 hoặc m=-3

TH2: x2=-m-1 và x1=2m+2+m+1=3m+3

x1x2=m^2+2m

=>-3m^2-6m-3-m^2-2m=0

=>m=-1/2; m=-3/2

\(1,\Leftrightarrow\Delta=64-4\left(2m+6\right)\ge0\\ \Leftrightarrow40-8m\ge0\\ \Leftrightarrow m\le5\\ 2,\Leftrightarrow\Delta=4\left(m-1\right)^2-4\left(2m-6\right)>0\\ \Leftrightarrow4m^2-8m+4-8m+24>0\\ \Leftrightarrow2\left(m^2-4m+4\right)+6>0\\ \Leftrightarrow2\left(m-2\right)^2+6>0\left(\text{luôn đúng}\right)\\ \Leftrightarrow m\in R\)