ta có :

Đặt \(p^n+144=a^2\left(a\in N\right)\)

\(\Rightarrow p^n=\left(a-12\right)\left(a+12\right)\)

Ta thấy : \(a-12+a+12=2a⋮2\)

\(\Rightarrow\left(a-12\right)\left(a+12\right)⋮2\)

\(\Rightarrow p^n⋮2\) mà $p$ nguyên tố \(\Rightarrow p=2\)

Khi đó ta có : \(2^n=\left(a-12\right)\left(a+12\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2^x=a-12\\2^y=a+12\end{matrix}\right.\) với $x+y=a; x,y \in N$,  \(y>x\)

\(\Rightarrow2^y-2^x=24\Rightarrow2^x\left(2^{y-x}-1\right)=24\)

Rồi bạn xét các TH để tìm ra giá trị đề bài nhé! Đến đây dễ rồi.

a)Giả sử tồn tại số nguyên n sao cho \(n^2+2002\)là số chình phương.

\(\Rightarrow n^2+2002=a^2\left(a\inℕ^∗\right)\)

\(\Rightarrow a^2-n^2=2002\)

\(\Rightarrow a^2+an-an-n^2=2002\)

\(\Rightarrow a\left(a+n\right)-n\left(a+n\right)=2002\)

\(\Rightarrow\left(a-n\right)\left(a+n\right)=2002\)

Mà \(2002⋮2\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a-n⋮2\\a+n⋮2\end{cases}\left(1\right)}\)

Ta có : \(\left(a+n\right)-\left(a-n\right)=-2n\)

\(\Rightarrow\)\(a-n\)và \(a+n\)có cùng tính chẵn lẻ \(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\): \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-n⋮2\\a+n⋮2\end{cases}}\)

Vì 2 là số nguyên tố \(\Rightarrow\left(a-n\right)\left(a+n\right)⋮4\)

mà 2002 không chia hết cho 4

\(\Rightarrow\)Mâu thuẫn

\(\Rightarrow\)Điều giả sử là sai

\(\Rightarrow\)Không tồn tại số nguyên n thỏa mãn đề bài

Đặt  \(A=n\left(n+1\right)\left(n+7\right)\left(n+8\right)\)

\(=\left(n^2+8n\right)\left(n^2+8n+7\right)\)   (1)

Đặt  \(t=n^2+8n\)   Vì n > 0 nên t > 0

Vì A là số chính phương đặt A=k²  \(\left(k\in N\right)\)   Vì t>0 => k > 0

(1)   \(\Rightarrow\)  \(t\left(t+7\right)=k^2\)        

\(\Leftrightarrow4t^2+28t-4k^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4t^2+28t+49\right)-4k^2-49=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2t+7\right)^2-\left(2k\right)^2=49\)

\(\Leftrightarrow\left(2t+7-2k\right)\left(2t+7+2k\right)=49\)

Xét các ước của 49 với chú ý rằng  \(2t+7-2k< 2t+7+2k\)  vì k > 0 từ đó dễ dàng tìm được t

Sau đó ta tìm được các giá trị của n.

Đặt \(n^4+n^3+1=a^2\)

\(\Leftrightarrow64n^4+64n^3+64=\left(8a\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(8n^2+4n-1\right)^2-16n^2+8n+16n^2+63=\left(8a\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(8n^2+4n-1\right)^2+8n+63=\left(8a\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(8a\right)^2>\left(8n^2+4n-1\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(8a\right)^2\ge\left(8n^2+4n\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(8n^2+4n-1\right)^2+8n+63\ge\left(8n^2+4n\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(8n^2+4n\right)^2-2\left(8n^2+4n\right)+1+8n+63\ge\left(8n^2+4n\right)^2\)

\(\Rightarrow16n^2\le64\)

\(\Rightarrow n^2\le4\Rightarrow n\in\left\{1;2\right\}\) vì m nguyên dương.

Vậy ....

666666666666666666666666666666666666667777777777777777777777777788888888888888888888899999999999999999999999999944444444444444444444445555555555555555555523243435356666356467578556475786896897896756745342111111111111111111111122222222222222222223333333333333333333333333333333333344444454444444444444555555555555556666666666666666666666777777777777777777777778888888888888899999999999999101010101010101010101010101001010010100101001010010100000000000000000000000000000000000000000000001111111111111111111111000000000000000010101010

Giả sử \(x^3+x^2+2025\) là số chính phương nhỏ hơn 10000. Ta có phương trình:
\(x^3+x^2+2025 =k^2(k \in N,k^2<10000 \Leftrightarrow k<100)\)
\(\Leftrightarrow \)\(2025=k^2-x^2(x+1)\)
\(\Leftrightarrow \)\(2025=(k-x\sqrt{x+1})(k+x\sqrt{x+1})\)
Mà \(k-x\sqrt{x+1} < k+x\sqrt{x+1}< 100\)(Vì \(k < 100\))
\(\Rightarrow \)\(\left[\begin{array}{} \begin{cases} k+x\sqrt{x+1}=81\\ k-x\sqrt{x+1}=25 \end{cases}\\ \begin{cases} k+x\sqrt{x+1}=75\\ k-x\sqrt{x+1}=27 \end{cases}\\ \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left[\begin{array}{} \begin{cases} 2k=106\\ k-x\sqrt{x+1}=25 \end{cases}\\ \begin{cases} 2k=102\\ k-x\sqrt{x+1}=27 \end{cases}\\ \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left[\begin{array}{} \begin{cases} k=53\\ 53-x\sqrt{x+1}=25 \end{cases}\\ \begin{cases} k=51\\ 51-x\sqrt{x+1}=27 \end{cases}\\ \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left[\begin{array}{} \begin{cases} k=53\\ x\sqrt{x+1}=28 \end{cases}\\ \begin{cases} k=51\\ x\sqrt{x+1}=24 \end{cases}\\ \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left[\begin{array}{} \begin{cases} k=53\\ x^3+x^2-784=0 \end{cases}\\ \begin{cases} k=51\\ x^3+x^2-576=0 \end{cases}\\ \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left[\begin{array}{} \begin{cases} k=53\\ x^3+x^2-784=0(PTVN) \end{cases}\\ \begin{cases} k=51\\ x^3-8x^2+9x^2-72x+72x-576=0 \end{cases}\\ \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases} k=51\\ (x-8)(x^2+9x+72)=0 \end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases} k=51(t/m)\\ \left[\begin{array}{} x=8(t/m)\\ (x+\frac{9}{2})^2+\frac{207}{4}=0(PTVN) \end{array} \right. \end{cases}\)
Vậy chỉ có giá trị \(x=8\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
P/s: Cái c/m vô nghiệm kia mình không biết làm. Chỉ biết bấm máy tính không ra nghiệm nguyên

Lời giải:

Đặt tổng trên là $A$.

Với $n=1$ thì $2^n+3^n+4^n=9$ là scp (thỏa mãn)

Xét $n\geq 2$. Khi đó:

$2^n\equiv 0\pmod 4; 4^n\equiv 0\pmod 4$

$\Rightarrow A=2^n+3^n+4^n\equiv 3^n\equiv (-1)^n\pmod 4$

Vì 1 scp khi chia 4 chỉ có thể có dư là $0$ hoặc $1$ nên $n$ phải là số chẵn.

Đặt $n=2k$ với $k$ nguyên dương.

Khi đó: $A=2^{2k}+3^{2k}+4^{2k}\equiv (-1)^{2k}+0+1^{2k}\equiv 2\pmod 3$
Một scp khi chia 3 chỉ có thể có dư là 0 hoặc 1 nên việc chia 3 dư 2 như trên là vô lý

Vậy TH $n\geq 2$ không thỏa mãn. Tức là chỉ có 1 giá trị $n=1$ thỏa mãn.