Question

tìm tất cả các cặp số (p,n) trong đó p là số nguyên tố ,n là số nguyên dương sao cho pⁿ + 144 là số chính phương

Answer 1

Đặt \(p^n+144=a^2\left(a\in N\right)\)

\(\Rightarrow p^n=\left(a-12\right)\left(a+12\right)\)

Ta thấy : \(a-12+a+12=2a⋮2\)

\(\Rightarrow\left(a-12\right)\left(a+12\right)⋮2\)

\(\Rightarrow p^n⋮2\) mà $p$ nguyên tố \(\Rightarrow p=2\)

Khi đó ta có : \(2^n=\left(a-12\right)\left(a+12\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2^x=a-12\\2^y=a+12\end{matrix}\right.\) với $x+y=a; x,y \in N$,  \(y>x\)

\(\Rightarrow2^y-2^x=24\Rightarrow2^x\left(2^{y-x}-1\right)=24\)

Rồi bạn xét các TH để tìm ra giá trị đề bài nhé! Đến đây dễ rồi.