Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác.C/M:\(2\cdot\left(a\cdot b+b\cdot c+c\cdot a\right)>a^2+b^2+c^2\)
Những câu hỏi liên quan
chứng minh\(\frac{a\cdot\left(b+c\right)}{a^2+2bc}+\frac{b\cdot\left(a+c\right)}{b^2+2ac}+\frac{c\cdot\left(a+b\right)}{c^2+2ab}< =2\)2 với a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác
BĐT cần CM tương đương:
\(3-VT\ge1\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+2bc-a\left(b+c\right)}{a^2+2bc}+...\ge1\) (1)
\(VT\left(1\right)=\frac{\left[a^2+2bc-a\left(b+c\right)\right]^2}{\left(a^2+2bc\right)\left[a^2+2bc-a\left(b+c\right)\right]}+...\)
\(\ge\frac{\left[a^2+2bc-a\left(b+c\right)+b^2+2ca-b\left(c+a\right)+c^2+2ab-c\left(a+b\right)\right]^2}{\left(a^2+2bc\right)\left[a^2+2bc-a\left(b+c\right)\right]+...}\)
\(=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+2bc\right)\left[a^2+2bc-a\left(b+c\right)\right]+...}\) (2)
Ta cần chứng minh mẫu của (2) \(\le\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)
... Tự biến đổi ra thôi thi ta được 1 biểu thức không âm luôn đúng
=> BĐT trên đúng
=> đpcm
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c
Bài 1: cho a,b,cge0 và a+b+c1. Chứng minh rằng :a,left(1-aright)cdotleft(1-bright)cdotleft(1-cright)ge8cdot acdot bcdot cb,16cdot acdot bcdot cge a+bc,frac{a}{1+a}+frac{2cdot b}{2+b}+frac{3cdot c}{3+c}lefrac{6}{7}Bài 2: cho a,b,c0 và a.b.c0 chứng minh rằng:frac{bcdot c}{a^2cdot b+a^2cdot c}+frac{acdot c}{b^2cdot c+b^2cdot a}+frac{acdot b}{c^2cdot a+c^2cdot b}gefrac{3}{2}
Đọc tiếp
Bài 1: cho \(a,b,c\ge0\) và a+b+c=1. Chứng minh rằng :
a,\(\left(1-a\right)\cdot\left(1-b\right)\cdot\left(1-c\right)\ge8\cdot a\cdot b\cdot c\)
b,\(16\cdot a\cdot b\cdot c\ge a+b\)
c,\(\frac{a}{1+a}+\frac{2\cdot b}{2+b}+\frac{3\cdot c}{3+c}\le\frac{6}{7}\)
Bài 2: cho a,b,c>0 và a.b.c=0 chứng minh rằng:
\(\frac{b\cdot c}{a^2\cdot b+a^2\cdot c}+\frac{a\cdot c}{b^2\cdot c+b^2\cdot a}+\frac{a\cdot b}{c^2\cdot a+c^2\cdot b}\ge\frac{3}{2}\)
Bài 1 :
a) Ta có : \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) , \(b+c\ge2\sqrt{bc}\) , \(c+a\ge2\sqrt{ca}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\) hay \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\ge8abc\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Tính:
B = \(\dfrac{\text{(a^2 +b^2 +c^2)*(a+b+c)^2+(a*b+b*c+c*a)^2}}{\left(a+b+c\right)^2-\left(a\cdot b+b\cdot c+c\cdot a\right)}\)
C = \(\dfrac{\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3+\left(a-b\right)^3}{a^2\cdot\left(b-c\right)+b^2\cdot\left(c-a\right)+c^2\cdot\left(a-b\right)}\)
\(C=\dfrac{\left(b-c+c-a\right)^3+3\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(b-c+c-a\right)+\left(a-b\right)^3}{a^2b-a^2c+b^2c-b^2a+c^2a-c^2b}\)
\(=\dfrac{3\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(b-a\right)}{a^2b-b^2a-a^2c+b^2c+c^2a-c^2b}\)
\(=\dfrac{3\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(b-a\right)}{\left(a-b\right)\cdot ab-c\left(a-b\right)\left(a+b\right)+c^2\left(a-b\right)}\)
\(=\dfrac{3\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(ab-ac-bc+c^2\right)}\)
\(=\dfrac{3\left(b-c\right)\left(a-c\right)}{a\left(b-c\right)-c\left(b-c\right)}=3\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Rút gọn các phân thức sau
a) \(A=\frac{a^2\cdot\left(b-c\right)+b^2\cdot\left(c-a\right)+c^2\cdot\left(a-b\right)}{a\cdot b^2-a\cdot c^2-b^3+b\cdot c^2}\)
b) \(B=\frac{x^3+y^3+z^3-3\cdot x\cdot y\cdot z}{\left(x+y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}\)
a. Ta có:
\(a^2\left(b-c\right)+b^2\left(c-a\right)+c^2\left(a-b\right)=a^2\left(b-c\right)-b^2\left(b-c+a-b\right)+c^2\left(a-b\right)=a^2\left(b-c\right)-b^2\left(b-c\right)-b^2\left(a-b\right)+c^2\left(a-b\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)
và \(ab^2-ac^2-b^3+bc^2=a\left(b^2-c^2\right)-b\left(b^2-c^2\right)=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(b+c\right)\)
Vậy, \(A=\frac{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(b+c\right)}=\frac{c-a}{-c-b}=\frac{a-c}{c+b}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
rút gọn phân thức\(\frac{a^2\cdot\left(b-c\right)+b^2\cdot\left(c-a\right)+c^2\cdot\left(a-b\right)}{a^4\cdot\left(b^2-c^2\right)+b^4\cdot\left(c^2-a^2\right)+c^4\cdot\left(a^2-b^2\right)}\)
cho tỉ lệ thức \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)
chứng minh
a. \(\left(\dfrac{a+b}{c+d}\right)^2=\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\)
b. \(\dfrac{a\cdot b}{c\cdot d}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\)
c.\(\dfrac{2008\cdot a-2009\cdot b}{2009\cdot c+2010\cdot d}=\dfrac{2008\cdot c-2009\cdot d}{2009\cdot a+2010\cdot b}\)
a: Đặt a/b=c/d=k
=>a=bk; c=dk
\(\left(\dfrac{a+b}{c+d}\right)^2=\left(\dfrac{bk+b}{dk+d}\right)^2=\dfrac{b^2}{d^2}\)
\(\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\dfrac{b^2k^2+b^2}{d^2k^2+d^2}=\dfrac{b^2}{d^2}\)
Do đó: \(\left(\dfrac{a+b}{c+d}\right)^2=\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\)
b: \(\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{bk\cdot b}{dk\cdot d}=\dfrac{b^2}{d^2}\)
\(\left(\dfrac{a-b}{c-d}\right)^2=\left(\dfrac{bk-b}{dk-d}\right)^2=\dfrac{b^2}{d^2}\)
Do đó: \(\dfrac{ab}{cd}=\left(\dfrac{a-b}{c-d}\right)^2\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Bài 1:Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 2x4+3x3-9x2-3x2+2
b) \(a\cdot\left(b+c\right)\cdot\left(b^2-c^2\right)+b\cdot\left(a+c\right)\cdot\left(c^2-b^2\right)+c\cdot\left(a+b\right)\cdot\left(a^2-b^2\right)\)
Bài 2: Cho x-y=12. Tính A=x3-y3-36xy
Giúp mình nhanh nhé
\(x^3-y^3-36xy\)
\(=\left(x-y\right)^3+3xy\left(x-y\right)-36xy\)
\(=12^3+36xy-36xy\)
\(=1728\)
Cho a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác . Tính giá trị biểu thức :\(P=\frac{[a^2-\left(b+c\right)^2]\cdot\left(a+b-c\right)}{\left(a+b+c\right)\left[\left(a-c\right)^2-b^2\right]}\)
Cho a,b,c khác nhau.C/m
\(\frac{b-c}{\left(a-b\right)\cdot\left(a-c\right)}+\frac{c-a}{\left(b-c\right)\cdot\left(b-a\right)}+\frac{a-b}{\left(c-a\right)\cdot\left(c-b\right)}=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{c-a}\)
Câu hỏi của Tăng Thiện Đạt - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Đúng 0
Bình luận (0)