I. Đúng do BĐT Cosi \(a+\dfrac{9}{a}\ge2.\sqrt{a.\dfrac{9}{a}}=6\)

II. Sai do \(\dfrac{a^2+5}{\sqrt{a^2+4}}=\sqrt{a^2+4}+\dfrac{1}{\sqrt{a^2+4}}\ge2+\dfrac{1}{a^2+4}>2\)

III. Đúng do BĐT Cosi \(\dfrac{\sqrt{ab}}{ab+1}\le\dfrac{\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab}}=\dfrac{1}{2}\)

IV. Đúng do BĐT BSC \(\left(a+\dfrac{1}{b}\right)\left(b+\dfrac{1}{a}\right)\ge\left(\sqrt{a}.\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}.\dfrac{1}{\sqrt{b}}\right)^2=4\)

Ta có

\(\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2a}{\sqrt{ab+bc+ca+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{ab+bc+ca+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{ab+bc+ca+c^2}}\)

\(\Leftrightarrow2a.\frac{1}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+b.\frac{1}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}+c.\frac{1}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)

\(\Leftrightarrow2a.\frac{1}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+2b.\frac{1}{\sqrt{\left(a+b\right).4.\left(b+c\right)}}+2c.\frac{1}{\sqrt{\left(a+c\right).4.\left(b+c\right)}}\)

\(\le\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{4\left(b+c\right)}+\frac{c}{a+c}+\frac{c}{4\left(b+c\right)}\)

\(=1+1+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\)

Xem lại đề nhé

sân trường của một trường THCS có dạng hình chũ nhật với chiều rộng là 50m chiều dài 72m nhà trường dự tính dùng 36% diện tích sân trường để trồng cây xanh phủ bóng mát biết mỗi một cây xanh chiếm một khoảng diện tích hình có cạnh là 4m hỏi trường THCS phải chuẩn bị tất cả bao nhiêu cây xanh ?

tách ra mình làm cho. để cả đống này k làm đc đâu

ý a, áp dụng BĐT cô si có 

   a + b >= căn ab     dấu = xay ra a=b

b + c >= căn bc         dau = xay ra khi b=c

c+a >= căn ac           dau = xay ra khi a=c

công tung ve vao. rut gon ta dc điều phải chung minh

ta có:

\(\left(b-c\right)^2\ge0\Leftrightarrow b^2+4bc+4c^2\le3b^2+6c^2\Leftrightarrow\left(b+2c\right)^2\le3b^2+6c^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(b+2c\right)^2}{3b^2+6c^2}\le1\Leftrightarrow\frac{b+2c}{\sqrt{3b^2+6c^2}}\le1\Leftrightarrow\frac{a\left(b+2c\right)}{\sqrt{3b^2+6c^2}}\le a\)

cmtt =>\(\frac{a\left(b+2c\right)}{\sqrt{3b^2+6c^2}}+\frac{b\left(c+2a\right)}{\sqrt{3c^2+6a^2}}+\frac{c\left(a+2b\right)}{\sqrt{3a^2+6b^2}}\le a+b+c\left(Q.E.D\right)\)

dấu = xảy ra khi a=b=c

3.Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)ta có

\(\frac{ab}{a+3b+2c}=ab.\frac{1}{\left(a+c\right)+2b+\left(b+c\right)}\le\frac{1}{9}ab.\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{b+c}\right)\)

TT \(\frac{bc}{b+3c+2a}\le\frac{bc}{9}.\left(\frac{1}{b+a}+\frac{1}{2c}+\frac{1}{c+a}\right)\)

\(\frac{ca}{c+3a+2b}\le\frac{ac}{9}.\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{b+c}\right)\)

=> \(VT\le\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)+\Sigma.\frac{1}{9}.\left(\frac{bc}{a+c}+\frac{ba}{a+c}\right)=\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)+\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)\)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

2. Chuẩn hóa \(a+b+c=3\)

=> \(ab+bc+ac\le3\)

=> \(c^2+3\ge\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)

=> \(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\le\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)

=> \(VT\le\Sigma\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{a+c}\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{3}{2}\)(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

1. Ta có \(\sqrt{b^3+1}=\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\le\frac{1}{2}\left(b^2+2\right)\)

=> \(\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}\ge\frac{2a}{2+b^2}=\frac{2a+ab^2-ab^2}{2+b^2}=a-\frac{2ab^2}{b^2+b^2+4}\)

Lại có \(b^2+b^2+4\ge3\sqrt[3]{b^4.4}\)

=> \(\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}\ge a-\frac{2ab^2}{3\sqrt[3]{b^4.4}}=a-\frac{2}{3}.a.\sqrt[3]{\frac{b^2}{4}}\)

Mà \(\sqrt[3]{\frac{b^2}{4}.1}=\sqrt[3]{\frac{b}{2}.\frac{b}{2}.1}\le\frac{1}{3}\left(b+1\right)\)

=>\(\frac{a}{\sqrt[3]{b^3+1}}\ge a-\frac{2}{3}.a.\frac{1}{3}\left(b+1\right)=\frac{7a}{9}-\frac{2}{9}ab\)

Khi đó

\(VT\ge\frac{7}{9}\left(a+b+c\right)-\frac{2}{9}\left(ab+bc+ac\right)\)

Mà \(ab+bc+ac\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=12\)

=> \(VT\ge\frac{7}{9}.6-\frac{2}{9}.12=2\)(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=2

Hôm qua em không có online. Bài này căng não@@

Đặt \(p=a+b+c;q=ab+bc+ca;r=abc\Rightarrow q=3\) thì \(p^2\ge3q=9\Rightarrow p\ge3\)

Chú ý: \(-4p^3r + p^2q^2 + 18pqr - 4q^3 - 27r^2=(a-b)^2 (b-c)^2 (c-a)^2 \geq 0\)

\(\Rightarrow\) \(1/27(-2p^3-2\sqrt{(p^2-3q)^3}+9pq) \leq r \leq 1/27(-2p^3+2\sqrt{(p^2-3q)^3}+9pq)\)

Hay là: \(\frac{1}{27}\left(-2p^3-2\sqrt{\left(p^2-9\right)^3}+27p\right)\le r\le\frac{1}{27}\left(-2p^3+2\sqrt{\left(p^2-9\right)^3}+27p\right)\)

Nếu \(a\ge b\ge c\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\ge ab^2+bc^2+ca^2\)

\(\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\ge\frac{1}{2}\Sigma ab\left(a+b\right)=\frac{1}{2}\left(pq-3r\right)=\frac{3}{2}\left(p-3r\right)\)

Do đó: \(P\ge\frac{1}{2}\left(p-3r\right)+\sqrt[3]{9p}\ge\frac{1}{2}\left(p-\frac{1}{27}\left(-2p^3+2\sqrt{\left(p^2-9\right)^3}+27p\right)\right)+3\)

\(\ge\frac{1}{27}p^3-\frac{1}{27}\sqrt{\left(p^2-9\right)^3}+3=f\left(p\right)\). Dễ thấy khi p tăng thì f(p) tăng.

Do đó f(p) đạt giá trị nhỏ nhất khi p đạt giá trị nhỏ nhất. Hay là: \(f\left(p\right)\ge f\left(3\right)=4=VP\)

Trường hợp còn lại tối về em đăng, đang bận!

Nếu \(a\le b\le c\Rightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\le0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)=-\left|\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\right|=-\sqrt{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}\)

\(=-\sqrt{-4p^3r + p^2q^2 + 18pqr - 4q^3 - 27r^2}\)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Chú ý: \(-4p^3r + p^2q^2 + 18pqr - 4q^3 - 27r^2=(a-b)^2 (b-c)^2 (c-a)^2 \geq 0\)

\(\Rightarrow\) \(1/27(-2p^3-2\sqrt{(p^2-3q)^3}+9pq) \leq r \leq 1/27(-2p^3+2\sqrt{(p^2-3q)^3}+9pq)\)

Hay là: \(\frac{1}{27}\left(-2p^3-2\sqrt{\left(p^2-9\right)^3}+27p\right)\le r\le\frac{1}{27}\left(-2p^3+2\sqrt{\left(p^2-9\right)^3}+27p\right)\)

Ta có: \(2\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)=\Sigma ab\left(a+b\right)+\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\)

\(=pq-3r-\sqrt{-4p^3r + p^2q^2 + 18pqr - 4q^3 - 27r^2}\)

\(=3p-3r-\sqrt{-4p^3r + 9p^2 + 54pr - 108 - 27r^2}\)

Do đó: \(a^2b+b^2c+c^2a\)​​\(=\frac{3p-3r-\sqrt{-4p^3r + 9p^2 + 54pr - 108 - 27r^2}}{2}\)

Do đó: \(P\)\(=\frac{3p-3r-\sqrt{-4p^3r + 9p^2 + 54pr - 108 - 27r^2}}{6}\)\(+\sqrt[3]{9p}\ge4\)

\(\Leftrightarrow\frac{3p-3r}{6}+\sqrt[3]{9p}\ge4+\)\(\frac{\sqrt{-4p^3r + 9p^2 + 54pr - 108 - 27r^2}}{6}\)

Or \(3p-3r+6\sqrt[3]{9p}-24\ge\)\(\sqrt{-4p^3r + 9p^2 + 54pr - 108 - 27r^2}\)

Vì: \(VT=3p-3r+6\sqrt[3]{9p}-24\ge3p-\frac{pq}{3}+18-24=0\)

Nên bất đẳng thức trên tương đương:

​​\(\left(3p-3r+6\sqrt[3]{9p}-24\right)^2\ge\) \(-4p^3r + 9p^2 + 54pr - 108 - 27r^2\)

Em chịu thua :( @Akai Haruma @Nguyễn Việt Lâm giúp em với ạ.

bài này bạn lấy ở InMC hả Phạm Hoàng Lê Nguyên

Chả nhẽ nó ko hiện câu hỏi giống câu hỏi này à vc Câu hỏi của Perfect Blue - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

Trả lời hộ mình đi