Giups mình với ạ ,mình cảm ơn nhiều ạ !!!
Cho tam giác ABC cố định và có trọng tâm G . Điểm M thay đổi trong mặt phẳng thoả mãn MA2+MB2+MC2_12AB2=GA2+GB2+GC2.Quỹ tích điểm M là một đường tròn có bán kính bằng :
A.12AB2 B.4AB2 C.4AB D.2AB
\(\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)^2+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)^2+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)^2=GA^2+GB^2+GC^2+12AB^2\)
\(\Leftrightarrow3MG^2+2\overrightarrow{MG}\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=12AB^2\)
\(\Leftrightarrow MG^2=4AB^2\Leftrightarrow MG=2AB\)
Quỹ tích M là đường tròn tâm G bán kính \(R=2AB\)
Cho tam giác ABC vuông cân tại B và M thuộc miền trong tam giác sao cho góc BMC =135 độ. Chứng minh MA2=2.MB2+MC2
Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì thỏa mãn AMB ̂ =900
. Chứng minh rằng MA2 + MB2 + MC2 + MD2 không đổi
Bài 2. Cho đường tròn (O,R), P là điểm cố định nằm trong đường tròn.
Qua P kẻ 2 dây cung AB và CD vuông góc với nhau.
1) Chứng minh PA2 + PB2 + PC2 + PD2 không đổi
2) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh PM vuông góc với BD
Trong không gian cho tam giác ABC đều cạnh bằng 2 cố định, M là điểm thỏa mãn điều kiện M A 2 + M B 2 + M C 2 = 12 Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. Tập hợp các điểm M là một mặt cầu có bán kính R = 7
B. Tập hợp các điểm M là một mặt cầu có bán kính R = 2 7 3
C. Tập hợp các điểm M là một mặt cầu có bán kính R = 7 2
D. Tập hợp các điểm M là một mặt cầu có bán kính R = 2 7 9
Đáp án C.
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz, với O(0;0;0) là trung điểm của AB => OC= 3
Khi đó
⇒ x 2 + ( y + 1 ) 2 + z 2 + x 2 + ( y - 1 ) 2 + z 2 + 2 ( x - 3 ) 2 + 2 y 2 + 2 z 2 = 12
Vậy tập hợp các điểm M là một mặt cầu có bán kính
R
=
7
2
Cho tam giác đều ABC cạnh a.
a, Cho M là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính MA2 + MB2 + MC2 theo a.
b, Cho đường thẳng d tùy ý, tìm điểm N trên đường thẳng d sao cho NA2 + NB2 + NC2 nhỏ nhất.
a) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Do tam giác ABC là tam giác đều nên O đồng thời là trọng tâm tam giác đều ABC.
Lại có:
+ O là trọng tâm tam giác nên
+ Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác:
Ta có: NA2 + NB2 + NC2 ngắn nhất
⇔ NO2 ngắn nhất vì R không đổi
⇔ NO ngắn nhất
⇔ N là hình chiếu của O trên d.
Cho tam giác ABC có AB = 22, BC = 19, CA = 13. Tìm tập hợp điểm M sao cho:
a) MA2 + MB2 + MC2 = k2b) AM2 + CM2 = BM2c) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của BM nếu AM2 + CM2 = BM2
a, Gọi I là trọng tâm của ΔABC
⇒ \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)
MA2 + MB2 + MC2 = k2
⇔ 3MI2 + 2\(\overrightarrow{MI}\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\right)+AB^2+AC^2+BC^2\) = k2
⇔ 3MI2 = k2 - 1014
⇔ MI = \(\sqrt{\dfrac{k-1014}{3}}\) = const
Vậy M thuộc \(\left(I;\sqrt{\dfrac{k-1014}{3}}\right)\)
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB<AC. Đường cao AH, AB = 4cm. Gọi M là điểm bất kì trên đường
trung trực của HC. Tính MB2 - MC2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(2;1;3), B(1;-1;2), C(3;-6;1). Điểm M(x;y;z) thuộc mặt phẳng (Oyz) sao cho MA2 + MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức P = x+y+z
A. P = 0
B. P = 2P = 0
C. P = 6
D. P = -2
Chọn A
Gọi là trọng tâm tam giác ABC. Suy ra: G(2;-2;2)
Do tổng GA2 + GB2 + GC2 không đổi nên MA2 + MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi GM2 nhỏ nhất
Mà S nằm trên mặt phẳng (Oyz) nên M là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng (Oyz). Suy ra: M(0;-2;2)
Vậy P = x+y+z = 0 + (-2) + 2 = 0
Cho tam giác ABC có M là trung điểm BC. Trên tia đối MA lấy điểm D sao cho MA = MD.
a) Chứng minh rằng AB song song và bằng CD
b) Gọi E là trọng tâm tam giác ADC và G là trọng tâm tam giác ABC. Đường thằng DE cắt AC tại K và AE cắt CD tại I. Chứng tỏ rằng I là trung điểm CD và chứng minh 3 điểm B,G,K thẳng hàng
c) Chứng minh GE//AC