tìm các số a,b,c thỏa mãn :\(a^2+b^2+c^2=\frac{b^2-c^2}{a^2+3}+\frac{c^2-a^2}{b^2+4}+\frac{a^2-b^2}{c^2+5}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\). Tìm GTNN của
\(M=\frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{b^5}{c^3+a^2}+\frac{c^5}{a^3+b^2}+a^4+b^4+c^4\)
\(Ta có: \frac{{a^5 }}{{b^3 + c^2 }} + \frac{{\sqrt {a(b^3 + c^2 )} }}{{2\sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {a(b^3 + c^2 )} }}{{2\sqrt 2 }}\mathop \ge \frac{{3a^2 }}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{{a^5 }}{{b^3 + c^2 }} \ge \frac{{3a^2 }}{2} - (\frac{{\sqrt {a(b^3 + c^2 )} }}{{2\sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {a(b^3 + c^2 )} }}{{2\sqrt 2 }})\)
\(Do đó: \frac{{a^5 }}{{b^3 + c^2 }} \ge \frac{{3a^2 }}{2} - \frac{{\sqrt {2a(b^3 + c^2 )} }}{2}\mathop \ge \frac{{3a^2 }}{2} - \frac{{2a + b^3 + c^2 }}{4}\)
\(CMTT \frac{{b^5 }}{{c^3 + a^2 }}\mathop \ge \frac{{3b^2 }}{2} - \frac{{2b + c^3 + a^2 }}{4}\), \(\frac{{c^5}}{{a^3+b^2}}\mathop \ge \frac{{3c^2 }}{2} - \frac{{2c + a^3 + b^2 }}{4}\)
\(M \ge \frac{{3(a^2 + b^2 + c^2 )}}{2} + a^4 + b^4 + c^4 - \frac{{2(a + b + c) + (a^2 + b^2 + c^2 ) + (a^3 + b^3 + c^3 )}}{4}\)
\(M \ge \frac{9}{2} + a^4 + b^4 + c^4 - \frac{{2(a + b + c) + (a^2 + b^2 + c^2 ) + (a^3 + b^3 + c^3 )}}{4}\)
Áp dụng Bunhiacoopski ta có:
\(\sqrt {(a^4+b^4+c^4 )(a^2+b^2+c^2)}=\sqrt {(a^4 +b^4+ c^4 ).3}\ge a^3+b^3+c^3 \)
\(\sqrt {(a^4 + b^4 + c^4 )(1 + 1 + 1)} = \sqrt {(a^2 + b^2 + c^2 ).3} \ge a^2 + b^2 + c^2 \Leftrightarrow a^4 + b^4 + c^4 \ge 3\)
Ta có: \(3 = a^2 + b^2 + c^2 \ge \frac{{(a + b + c)^2 }}{3} \Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 \ge a + b + c\)
\(Đặt t=x^4+y^4+z^4 (t \ge 3) cần CM để trở thành S \ge \frac{{4t - 9 - \sqrt {3t} }}{4}\ge 0\)
\(Ta có: S\ge \frac{{4t - 9 - \sqrt {3t} }}{4} = \frac{{3(t - 3) + \sqrt t (\sqrt t - \sqrt 3 )}}{4} \ge 0
\)
\(Do đó: M\geq \frac{9}{2}\)
Phần đầu mình thiếu nha
\(\frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{\sqrt{a\left(b^3+c^2\right)}}{2\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{a\left(b^3+c^2\right)}}{2\sqrt{2}}\ge\frac{3a^2}{2}\)
=> \(\frac{a^5}{b^3+c^2}\ge\frac{3a^2}{2}-\left(\frac{\sqrt{a\left(b^3+c^2\right)}}{2\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{a\left(b^3+c^2\right)}}{2\sqrt{2}}\right)\)
Do đó \(\frac{a^5}{b^3+c^2}\ge\frac{3a^2}{2}-\frac{\sqrt{2a\left(b^3+c^2\right)}}{2}\ge\frac{3a^2}{2}-\frac{\left(2a+b^3+b^2\right)}{4}\)
CMTT \(\frac{b^5}{c^3+a^2}\ge\frac{3b^2}{2}-\frac{\left(2b+c^3+a^2\right)}{4},\frac{c^5}{a^3+b^2}\ge\frac{3c^2}{2}-\frac{\left(2c+a^3+b^2\right)}{4}\)
Ta có:
\(\dfrac{a^5}{b^3+c^2}+\dfrac{b^3+c^2}{4}+\dfrac{a}{2}\ge\dfrac{3a^2}{2}\)
\(\Rightarrow M\ge\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+a^4+b^4+c^4-\dfrac{1}{4}\left(a^2+b^2+c^2+a^3+b^3+c^3\right)-\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)
\(\ge\dfrac{5}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\dfrac{4}{3}\left(a^3+b^3+c^3\right)-1-\dfrac{1}{4}\left(a^3+b^3+c^3\right)-\dfrac{1}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\dfrac{3}{4}\)
\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)+\dfrac{13}{12}\left(a^3+b^3+c^3\right)-\dfrac{7}{4}\)
\(=\dfrac{5}{4}+\dfrac{13}{12}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(\ge\dfrac{5}{4}+\dfrac{3}{2}.\dfrac{13}{12}\left(a^2+b^2+c^2-1\right)=\dfrac{9}{2}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a^2 + b^2 + c^2 = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất
\(\frac{a^5}{\left(b^3+c^2\right)}+\frac{b^5}{c^3+a^2}+\frac{c^5}{a^3+b^2}+a^4+b^4+c^4\)
Bài 1:Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b=1.Tìm GTNN của bt sau
\(a,A=\frac{2}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^4+b^4}{2}\)
\(b,B=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^8+b^8}{4}\)
Bài 2:Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn a+b+c=9.tìm GTNN của bt
\(a,A=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a}\) \(b,B=\frac{a^3}{c^2+b^2}+\frac{b^3}{a^2+c^2}+\frac{c^3}{a^2+b^2}\)
Bai 3:Cho x,y là 2 số dương thỏa mãn \(x^2+y^2=4\) Tìm GTNN của bt \(A=\left(x+\frac{1}{y}\right)^2+\left(y+\frac{1}{x}\right)^2\)
Bài 4 Cho a,b,c là các số không âm thỏa mãn a+b+c=1 Tìm GTLN của bt
\(a,A=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}\) \(b,B=\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ac}{a+c}\)
1a
\(A=\frac{3}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^4+b^4}{2}\ge\frac{6}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}}{2}\)
\(\ge10+\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{4}=10+\frac{1}{16}=\frac{161}{16}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Vay \(A_{min}=\frac{161}{16}\)
1b.\(B=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^8+b^8}{4}\ge\frac{2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\frac{\left(a^4+b^4\right)^2}{2}}{4}\)
\(\ge6+\frac{\left[\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\right]^2}{8}\ge6+\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{32}=6+\frac{1}{128}=\frac{769}{128}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Vay \(B_{min}=\frac{769}{128}\)khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Bài 2 Dùng Cauchy-Schwarz dạng Engel là ra:D
Bài 3:Đừng vội dùng Cauchy-Schwarz dạng Engel ngay kẻo bị phức tạp:v Thay vào đó hãy khai triển nó ra:
\(A=x^2+y^2+2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\)
\(\ge4+2.2+\frac{4}{x^2+y^2}=4+4+1=9\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\sqrt{2}\)
Bài 4: Dùng Cauchy or Bunhiacopxki là ok!
a) Cho a,b,c là 3 số hữu tỉ thỏa mãn abc=1
và \(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}=\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\)
b) cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=3
cmr \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\)
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\). Tìm GTNN của:
\(M=\frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{b^5}{c^3+a^2}+\frac{c^5}{a^3+b^2}+a^4+b^4+c^4\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\). Tìm GTNN của:
\(M=\frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{b^5}{c^3+a^2}+\frac{c^5}{a^3+b^2}+a^4+b^4+c^4\)
Vừa nãy , em tớ là giảng viên đại học trong Miền Nam ra chơi cũng chào thua.
1,Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=abc.CMR:
\(\frac{bc}{a\left(1+bc\right)}+\frac{ca}{b\left(1+ca\right)}+\frac{ab}{c\left(1+ab\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
2,Cho a,b,c>0 thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\)
Tìm GTLN của P= \(\sqrt{\frac{a^2}{a^2+b+c}}+\sqrt{\frac{b^2}{b^2+c+a}}+\sqrt{\frac{c^2}{c^2+a+b}}\)
3,Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3.
Tìm GTLN của Q= \(2\sqrt{abc}\left(\frac{1}{\sqrt{3a^2+4b^2+5}}+\frac{1}{\sqrt{3b^2+4c^2+5}}+\frac{1}{\sqrt{3c^2+4a^2+5}}\right)\)
4,Cho a,b,c>0.
Tìm GTLN của P= \(\frac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}}{b+3\sqrt{ca}}\)
ko khó nhưng mà bn đăng từng câu 1 hộ mk mk giải giúp cho
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
Đặt: \(\sqrt{a}=x;\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z\)
=> \(P=\frac{xy}{z^2+3xy}+\frac{yz}{x^2+3yz}+\frac{zx}{y^2+3zx}\)
=> \(3P=\frac{3xy}{z^2+3xy}+\frac{3yz}{x^2+3yz}+\frac{3zx}{y^2+3zx}=1-\frac{z^2}{z^2+3xy}+1-\frac{x^2}{x^2+3yz}+1-\frac{y^2}{y^2+3zx}\)
Ta sẽ CM: \(3P\le\frac{9}{4}\)<=> Cần CM: \(\frac{x^2}{x^2+3yz}+\frac{y^2}{y^2+3zx}+\frac{z^2}{z^2+3xy}\ge\frac{3}{4}\)
Có: \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\)
Ta sẽ CM: \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{3}{4}\)
<=> \(4\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)+9\left(xy+yz+zx\right)\)
<=> \(4\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+zx\right)\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)+9\left(xy+yz+zx\right)\)
<=> \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
Mà đây lại là 1 BĐT luôn đúng => \(3P\le\frac{9}{4}\)=> \(P\le\frac{3}{4}\)
Vậy P max \(=\frac{3}{4}\)<=> \(a=b=c\)
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=0. \(CMR:\frac{a^5+b^5+c^5}{5}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}.\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\)
Ta có \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca\right)\)
Mà a+b+c=0 nên \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
Ta có \(\frac{a^2+b^2+c^2}{2}.\frac{a^3+b^3+c^3}{3}=\frac{(a^2+b^2+c^2)3abc}{6}=\frac{(a^2+b^2+c^2)abc}{2}\)(1)
Ta có \(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)=\left(a^2+b^2+c^2\right)3abc\)(2)
Bạn nhân vế trái của (2) ra rồi nhóm lại thì đc nhứ sau
\(=>2\left(a^5+b^5+c^5\right)-2abc\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a^2+b^2+c^2\right)3abc\)
\(=>2\left(a^5+b^5+c^5\right)=5abc\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=>\frac{a^5+b^5+c^5}{5}=\frac{abc(a^2+b^2+c^2)}{2}\)(3)
Từ (1)và (3)=> đpcm
Học tốt nha bạn !
2.Cho a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh: \(\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}+\frac{1}{a^2+b^2}\le\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+3\) 1. Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh \(\frac{a}{1+b-a}+\frac{b}{1+c-b}+\frac{c}{1+a-c}\ge1\)
\(sigma\frac{a}{1+b-a}=sigma\frac{a^2}{a+ab-a^2}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{b^2+c^2}=\frac{1}{1-a^2}=1+\frac{a^2}{b^2+c^2}\le1+\frac{a^2}{2bc}\)
Tương tự cộng lại quy đồng ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Cho a,b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. CMR :
\(\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{c^2+a^2+2}\le\frac{3}{4}\)
\(\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{c^2+a^2+2}\le\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2+2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2+2}\ge\frac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có :
\(VT\ge\frac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\)
\(\ge\frac{\sqrt{3\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+^2+c^2}\)
\(\ge\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\)
Ta cần chứng minh :
\(\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge0\) luôn đúng
Chúc bạn học tốt !!!
hoang viet nhat copy nhớ ghi nguồn nha bạn:))Link
Mà quan trọng là copy mà bạn có hiểu không là chuyện khác:) Bạn hãy giải thích tại sao:
\(\frac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\ge\frac{\sqrt{3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+^2+c^2}\)