a) Diện tích S của tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}a.{h_a}\)

b) Xét tam giác vuông AHC ta có:  \(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{{h_a}}}{b}\)

\( \Rightarrow {h_a} = b.\sin C\)

c) Thay \({h_a} = b.\sin C\) vào công thức diện tích, ta được: \(S = \frac{1}{2}ab\sin C\)

d) Theo định lí sin ta có: \(\frac{c}{{\sin C}} = 2R \Rightarrow \sin C = \frac{c}{{2R}}\)

Thay vào công thức ở c) ta được: \(S = \frac{1}{2}ab\frac{c}{{2R}} = \frac{{abc}}{{4R}}.\)

Tham khảo:

Đặt \(a = BC,b = AC,c = AB\)

Ta có: \(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{{h_a}}}{b} \Rightarrow {h_a} = b.\sin C\)

Theo định lí sin, ta có: \(\frac{b}{{\sin B}} = 2R \Rightarrow b = 2R.\sin B\)

\( \Rightarrow {h_a} = 2R.\sin B.\sin C\)

\(\dfrac{h_b}{h_a^2}+\dfrac{h_c}{h_b^2}+\dfrac{h_a}{h_c^2}=\dfrac{\dfrac{2S_{ABC}}{b}}{\dfrac{4S_{ABC}^2}{a^2}}+\dfrac{\dfrac{2S_{ABC}}{c}}{\dfrac{4S^2_{ABC}}{b^2}}+\dfrac{\dfrac{2S_{ABC}}{a}}{\dfrac{4S_{ABC}^2}{c^2}}\)

\(=\dfrac{a^2}{2bS_{ABC}}+\dfrac{b^2}{2cS_{ABC}}+\dfrac{c^2}{2aS_{ABC}}\)

\(=\dfrac{1}{2S_{ABC}}\left(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\right)\)

\(\ge\dfrac{1}{2.\dfrac{a+b+c}{2}r}.\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=\dfrac{1}{r}\)

Hình như có dấu = chứ nhỉ

Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều

\(a=2b-2c\Rightarrow sinA.2R=2sinB.2R-2sinC.2R\)

\(\Rightarrow sinA=2sinB-2sinC\)

\(ah_a=bh_b=ch_c\Rightarrow\left(2b-2c\right)h_a=bh_b=ch_c\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{h_a}=\dfrac{2b-2c}{b}.\dfrac{1}{h_b}\\\dfrac{1}{h_a}=\dfrac{2b-2c}{c}.\dfrac{1}{h_c}\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\dfrac{1}{h_a}=\dfrac{1}{h_b}-\dfrac{1}{h_c}+\left(\dfrac{b}{c.h_c}-\dfrac{c}{b.h_b}\right)\)

Câu này đề sai tiếp, biểu thức \(\dfrac{b}{c.h_c}-\dfrac{c}{b.h_b}\) kia không thể bằng 0

Sửa đề \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\left(h_a+h_b+h_c\right)\left(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\right)\) \(\left(1\right)\)

Gọi S là diện tích tam giác \(\Rightarrow\)\(S=\frac{ah_a}{2}=\frac{bh_b}{2}=\frac{ch_c}{2}\)\(\Rightarrow\)\(a=\frac{2S}{h_a};b=\frac{2S}{h_b};c=\frac{2S}{h_c}\)

\(VT=\left(\frac{2S}{h_a}+\frac{2S}{h_b}+\frac{2S}{h_c}\right)\left(\frac{1}{\frac{2S}{h_a}}+\frac{1}{\frac{2S}{h_b}}+\frac{1}{\frac{2S}{h_c}}\right)\) ( thay vào là xong ) 

\(VT=2S\left(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\right)\left(\frac{h_a+h_b+h_c}{2S}\right)=\left(h_a+h_b+h_c\right)\left(\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\right)\) ( đpcm ) 

Chúc bạn học tốt ~ 

\(\frac{S}{h_a}+\frac{S}{h_b}+\frac{S}{h_c}=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=p=\frac{S}{r}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\)

Học tốt!!!!!!!!!!!!!!!!

sorry em lp 6 nen ko hieu