Cho các số nguyên \(a_1,a_2,a_3,...,a_n\). Đặt \(S=a_1^3+a_2^3+a_3^3+...+a_n^3\) và \(P=a_1+a_2+a_3+...+a_n\). Chứng minh rằng \(S⋮6\) khi \(P⋮6\)

\(Cho\) \(\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{a_2}{a_3}=...=\dfrac{a_{n-1}}{a_n}=\dfrac{a_n}{a_1}\). Và \(a_1+a_2+...+a_n\ne0;a_1=-\sqrt{5}\). Tính \(a_2;a_3;...a_n=?\)

Cho các số nguyên \(a_1,a_2,a_3,...,a_n\)\(\left(n\in N,n>1\right)\)thõa mãn \(\left(a_1+a_2+a_3+...+a_n\right)⋮3\)

Chứng minh rằng \(\left(a_1^3+a_2^3+a_3^3+...+a_n^3\right)⋮3\)

P/s : Này là đề thi loại HSG cấp trường đợt 2 đó :)) 

(Nghi binh 20/09)

Cho \(a_1,a_2,...,a_n>0;3\le n\in N.\)  Đặt:

\(A_1=\frac{a_1}{a_2+a_3}+\frac{a_2}{a_3+a_4}+...+\frac{a_{n-1}}{a_n+a_1}+\frac{a_n}{a_1+a_2}\)

\(A_2=\frac{a_1}{a_n+a_2}+\frac{a_2}{a_1+a_3}+...+\frac{a_{n-1}}{a_{n-2}+a_n}+\frac{a_n}{a_{n-1}+a_1}\)

Chứng minh rằng: \(Max\left\{A_1,A_2\right\}\ge\frac{n}{2}\)

Cho \(a_1,a_2,......,a_n\)thuộc số nguyên và \(a_1+a_2+a_3+.....+a_n⋮6\)

CM : \(a_1^3+a_2^3+.....+a^3_n⋮6\)

Cho dãy tỉ số bằng nhau \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=...=\frac{a_{n-1}}{a_n}\) biết \(a_1+a_2+a_3+...+a_n\ne0;a_1=\sqrt{3}\)

Tính tổng \(a_1+a_2+a_3+...+a_n\)

Cho các số nguyên dương \(a_1,a_2,a_3,...a_n\) thỏa mãn \(\left(a_1+a_2+a_3+...+a_n\right)⋮30\)

CMR: \(a_1^5+a_2^5+a_3^5+...+a_n^5⋮30\)

Cho n số khác 0 là a₁, a₂, a₃,....,a_n thảo mãn \(a_2^2=a_1.a_3,a_3^2=a_2.a_4,...,a_{n-1}^2=a_{n-2}.a_n\). Chứng minh \(\frac{a_1^3+a_2^3+a_3^3+...+a_{n-1}^3}{a_2^3+a_3^3+a_4^3+...+a_n^3}=\frac{a_1}{a_n}\)

CMR:

Nếu \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=\frac{a_3}{a_4}=...=\frac{a_n}{a_{n+1}}\)thì\(\left(\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{a_2+a_3+a_4+..+a_{n+1}}\right)^n=\frac{a_1}{a_{n+1}}\)