xin lỗi đã trả lời xàm

Tham khảo:

Để OI ngắn nhất, ta cần tìm vị trí của M sao cho IM vuông góc với OE.

Gọi H là hình chiếu của I trên OE. Ta có:

Trong tam giác IHE vuông tại H, ta có IH ≤ IE.

Trong tam giác IME vuông tại I, ta có IM ≤ IE.

Do đó, ta cần tìm vị trí của M sao cho IM càng nhỏ càng tốt.

Gọi G là giao điểm của AC và BD. Khi đó, ta có:

Tam giác AFG đồng dạng với tam giác CME (do có hai góc vuông bằng nhau).

Do đó, ta có:

$\frac{IM}{IE}=\frac{CG}{AE}=\frac{CG}{AC}\cdot\frac{AC}{AE}=\frac{BG}{BD}\cdot\frac{AC}{AE}$

Vì BG = CG, nên ta có thể viết lại:

$\frac{IM}{IE}=\frac{BG}{BD}\cdot\frac{AC}{AE}=\frac{BG}{BD}\cdot\frac{AB+BC}{AB+BE}$

Ta cần tìm vị trí của M để IM đạt giá trị nhỏ nhất. Để làm được điều này, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{IM}{IE}$.

Ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM để giải bài toán này:

$\frac{IM}{IE}=\frac{BG}{BD}\cdot\frac{AB+BC}{AB+BE}\geq 2\sqrt{\frac{BG}{BD}\cdot\frac{AB+BC}{AB+BE}}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = BE.

Vậy để OI ngắn nhất, ta cần chọn M sao cho AB = BE.

a)Có \(\widehat{MEC}=\widehat{MFC}\left(=90^0\right)\)

=>Tứ giác MECF nội tiếp

b)Có \(\widehat{AMB}=\widehat{ACB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)

\(\widehat{ACB}=\widehat{EMF}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung trong đt ngoại tiếp tứ giác MECF)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{EMF}\)

Tương tự cũng có: \(\widehat{ABM}=\widehat{EFM}=\left(\widehat{ECM}\right)\)

Xét \(\Delta BMA\) và \(\Delta MEF\) có:

\(\widehat{AMB}=\widehat{EMF}\)

\(\widehat{ABM}=\widehat{EFM}\)

nên \(\Delta BMA\sim\Delta FME\left(g.g\right)\) 

\(\Rightarrow\dfrac{BM}{FM}=\dfrac{BA}{FE}\) \(\Leftrightarrow BM.EF=AB.FM\)

c) Gọi \(K=FE\cap AB\)

Có \(\widehat{MFK}=\widehat{ABM}\left(=\widehat{ECM}\right)\)

\(\Rightarrow\)Tứ giác BKMF nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{BKM}+\widehat{MFB}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BKM}=90^0\)

Có: \(\widehat{PAM}+\widehat{BCM}=180^0\) (vì BAMC nội tiếp do bốn đỉnh cùng thuộc đt tâm O)

\(\widehat{MCB}+\widehat{MEF}=180^0\) (vì EMCF nội tiếp)

\(\Rightarrow\widehat{PAM}=\widehat{MEQ}\) mà \(\dfrac{AP}{EQ}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AB}{\dfrac{1}{2}EF}=\dfrac{AB}{EF}=\dfrac{AM}{EM}\)

=> Tam giác APM và EQM đồng dạng (c.g.c)

\(\Rightarrow\widehat{APM}=\widehat{EQM}\) hay góc KPM= góc KQM

\(\Rightarrow\) Tứ giác KPQM nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{PKM}+\widehat{MQP}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{MQP}=180^0-90^0=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta MQP\) vuông tại Q

=> PM²=MQ²+PQ² 

(toi xỉu)

Kẻ AH ⊥ DE tại H

D A E ^ = 2 B A C ^

=>  D A H ^ = B A C ^

Từ DE=2DH; AD=AM=AE

Suy ra DH=AD.sin D A H ^

Từ đó  D E m a x <=> AM = 2R

Vẽ hình nữa