a) 101ⁿ⁺¹-101ⁿ=101ⁿ.101-101ⁿ=101ⁿ(101-1)=100.101ⁿ chia hết cho 100

c) n²(n-1)-2n(n-1)=(n²-2n)(n-1)=n(n-1)(n-2)

vì n, (n-1), (n-2) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2, 1 số chia hết cho 3

Mà(2, 3) = 1 

⇒n(n-1)(n-2) chia hết cho 2.3 = 6

phần b mik ko giải đc 

a) Ta có: \(101^{n+1}-101^n\)

\(=101^n\left(101-1\right)\)

\(=100\cdot101^n⋮100\)

b) Ta có: \(25^{n+1}-25^n\)

\(=25^n\left(25-1\right)\)

\(=25^{n-1}\cdot24⋮100\)

Ta có  n 2  (n + 1) + 2n(n + 1) = ( n 2  + 2n).(n+ 1)= n(n+ 2).(n+1) = n(n + 1)(n + 2)

Vì n và n + 1 là 2 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2

⇒ n(n + 1) ⋮ 2

n, n + 1, n + 2 là 3 số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 3

⇒ n(n + 1)(n + 2) ⋮ 3 mà ƯCLN (2;3) = 1

vậy n(n + 1)(n + 2) ⋮ (2.3) = 6 với mọi số nguyên n

Ta có: A=n(n+1)(2n+1)

\(=n\left(n+1\right)\left(2n+2-1\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+n\left(n+1\right)\left(n-1\right)\)

Vì n;n+1;n+2 là ba số nguyên liên tiếp nên \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3!\)

hay \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\)

Vì n-1;n;n+1 là ba số nguyên liên tiếp nên \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮3!\)

hay \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮6\)

\(\Leftrightarrow A⋮6\)

\(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Vì n;n+1;n+2 là ba số nguyên liên tiếp

nên \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3!\)

hay \(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)⋮6\)

A= n²(n+1)+2n(n+1)=(n+1)(n²+2n)=(n+1)n(n+2)

vì A có n(n+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho2 

A có n(n+1)(n+2) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho3

lại có (2;3)=1 nênA chia hết cho 2*3=6

Bài 1:

Ta có: \(2n^2\left(n+1\right)-2n\left(n^2+n-3\right)\)

\(=2n^3+2n^2-2n^3-2n^2+6n\)

\(=6n⋮6\)

1) \(2n^2\left(n+1\right)-2n\left(n^2+n-3\right)=2n^3+2n^2-2n^3-2n^2+6n=6n⋮6\forall n\in Z\)

2) \(n\left(3-2n\right)-\left(n-1\right)\left(1+4n\right)-1=3n-2n^2-4n^2+3n+1-1=-6n^2+6n=6\left(-n^2+n\right)⋮6\forall n\in Z\)

n(n+1)(2n+1) = n(n+1)(n+2+n-1)=n(n+1)(n+2)+(n-1)(n+1)n 
ba số liên tiếp thì chia hết cho 2 ; chia hết cho 3 --> tổng trên chia hết cho 6

Gọi A= n.(n+1).(2n+1)

Nếu n là số chẵn thì A chia hết cho 2 ,nếu n là số lẻ thì n+1 chia hết cho 2 nên A cụng chia hết cho 2. Xét n=3k, n=3k+1, n=3k-1(k thuộc Z), bao giờ cũng có một thừa số của A chia hết cho 3, do đó A chia hết cho 3

Vậy A chia hết cho 6