Lời giải:

Ta có:

\(2x^2+3y^2=7xy\)

\(\Leftrightarrow 2x^2-7xy+3y^2=0\)

\(\Leftrightarrow 2x^2-6xy-xy+3y^2=0\)

\(\Leftrightarrow 2x(x-3y)-y(x-3y)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-3y)(2x-y)=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=3y\\ x=\frac{y}{2}\end{matrix}\right.\)

Nếu $x=3y$:

\(P=-3xy+6y-1=-3.3y.y+6y-1=-9y^2+6y-1=-(9y^2-6y+1)\)

\(=-(3y-1)^2\leq 0, \forall y>0\)

Nếu $x=\frac{y}{2}$:

\(P=-3.\frac{y}{2}.y+6y-1\). Với $y>0$ thì $P$ trong trường hợp này vẫn có thể nhận giá trị dương.

Do đó bạn xem lại đề bài.

Từ giả thiết:

\(29\le y^2+2xy+4x\le y^2+2xy+x^2+4\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge25\Rightarrow x+y\ge5\)

Đặt \(P=2x+3y+\dfrac{4}{x}+\dfrac{18}{y}\)

\(\Rightarrow P=x+y+\left(x+\dfrac{4}{x}\right)+2\left(y+\dfrac{9}{y}\right)\ge5+2\sqrt{\dfrac{4x}{x}}+2.2\sqrt{\dfrac{9y}{y}}=21\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(2;3\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x}\ge\dfrac{16}{3x+3y+2z}\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{3x+2y+2z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x}\right)\\ \Leftrightarrow\sum\dfrac{1}{3x+2y+2z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{4}{x+y}+\dfrac{4}{y+z}+\dfrac{4}{z+x}\right)=\dfrac{4}{16}\cdot6=\dfrac{3}{2}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

\(x^2+2y^2-3xy+2x-4y+3=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2+8y^2-12xy+8x-16y+12=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2-12xy+9y^2\right)-y^2+8x-16y+12=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-3y\right)^2+4\left(2x-3y\right)+4-\left(y^2-4y+4\right)+6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-3y+2\right)^2-\left(y-2\right)^2+6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-3y+2-y+2\right)\left(2x-3y+2+y-2\right)=-6\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-4y+4\right)\left(2x-2y\right)=-6\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2y+2\right)\left(x-y\right)=-\frac{3}{2}\)

Đến đây ta thấy vô lý

P/S:is that true ?

=-12 mà CTV

Bài này bạn phải đoán điểm rơi rồi nhóm tách theo bậc.

Kiểm tra \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{79}{36},\frac{61}{72},\frac{29}{54}\right)\), đề sai.

Ta có: \(\left(2x+3y\right)^2< \left(2x+3y\right)^2+5x+5y+1< \left(2x+3y+2\right)^2\).

Do đó để \(\left(2x+3y\right)^2+5x+5y+1\) là số chính phương thì \(\left(2x+3y\right)^2+5x+5y+1=\left(2x+3y+1\right)^2\Leftrightarrow x=y\).

Vậy x = y

\(1=2\sqrt{xy}+\sqrt{xz}\le x+y+\dfrac{1}{2}\left(x+z\right)=\dfrac{1}{2}\left(3x+2y+z\right)\)

\(\Rightarrow3x+2y+z\ge2\)

BĐT cần chứng minh tương đương:

\(\dfrac{5xy}{z}+\dfrac{4xz}{y}+\dfrac{3yz}{x}\ge4\)

Ta có:

\(VT=3\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{xz}{y}\right)+2\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}\right)+\left(\dfrac{xz}{y}+\dfrac{yz}{x}\right)\)

\(VT\ge3.2\sqrt{\dfrac{x^2yz}{yz}}+2.2\sqrt{\dfrac{xy^2z}{xz}}+2\sqrt{\dfrac{xyz^2}{xy}}=2\left(3x+2y+z\right)\ge2.2=4\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)