@Nguyễn Việt Lâm

Bunhiacopxki: \(\left(x^2+yz+zx\right)\left(y^2+yz+zx\right)\ge\left(xy+yz+zx\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{xy}{x^2+yz+zx}\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)

Thiết lập tương tự và cộng lại:

\(\Rightarrow VT\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)+yz\left(z^2+xy+zx\right)+zx\left(x^2+yz+xy\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)

\(VT\le\frac{xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)

Ta chỉ cần chứng minh: \(\frac{xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\)

\(\Leftrightarrow xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz\le\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2yz+xy^2z+xyz^2\le x^3y+y^3z+z^3x\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}\ge x+y+z\) (đúng theo Cauchy-Schwarz)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)

BĐT của bạn bị ngược dấu, mà có vẻ các mẫu số cũng ko đúng (để ý mẫu số thứ 2 và thứ 3 đều có chung xy+xz ko hợp lý)

#)Góp ý :

   Mời bạn tham khảo :

   http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%AAn-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017/

   Mình sẽ gửi link này về chat riêng cho bạn !

Tham khảo qua đây nè :

http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%Ân-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017

tk cho mk nhé

http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%AAn-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017/

bài của tui mà -_-

hihi k biết làm nên đăng ^^

\(\frac{xy+2x+1}{xy+x+y+1}+\frac{yz+2y+1}{yz+y+z+1}+\frac{zx+2z+1}{zx+z+x+1}\)

Ta có: \(\frac{xy+2x+1}{xy+x+y+1}=\frac{\left(xy+x\right)+\left(x+1\right)}{\left(xy+x\right)+\left(y+1\right)}=\frac{x\left(y+1\right)+\left(x+1\right)}{\left(y+1\right)\left(x+1\right)}=\frac{x}{x+1}+\frac{1}{y+1}\)

Tương tự ta có:

\(\frac{yz+2y+1}{yz+y+z+1}=\frac{y}{y+1}+\frac{1}{z+1}\)

\(\frac{zx+2z+1}{zx+z+x+1}=\frac{z}{z+1}+\frac{1}{x+1}\)

Từ đây ta có biểu thức ban đầu sẽ bằng

\(\frac{x}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{z}{z+1}+\frac{1}{x+1}\)

\(\left(\frac{x}{x+1}+\frac{1}{x+1}\right)+\left(\frac{y}{y+1}+\frac{1}{y+1}\right)+\left(\frac{z}{z+1}+\frac{1}{z+1}\right)=1+1+1=3\)

CHÚ Ý: ab+a+b+1=a(b+1)+(b+1)=(a+1)(b+1)

Xét: \(\frac{xy+2x+1}{xy+x+y+1}=\frac{x\left(y+1\right)+x+1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=\frac{x}{x+1}+\frac{1}{y+1}\)

Tương tự với 2 biểu thức còn lại ta được:

A=\(\frac{x}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{z}{z+1}+\frac{1}{x+1}\)

=\(\frac{x+1}{x+1}+\frac{y+1}{y+1}+\frac{z+1}{z+1}=1+1+1=3\)

Cặp đôi hoàn hảo luôn song hành

chứng minh cái gì đấy hả bạn ơi ?

akl quên vế sau

bài này tao nhớ là đã từng xem qua nhưng h ko nhớ cho rõ nx 

Dự đoán dấu "=" khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow S=1\)

Ta chứng minh \(S=1\) là GTNN của \(S\)

Thật vật ta có: \(\frac{1}{4x^2-yz+2}+\frac{1}{4y^2-xz+2}+\frac{1}{4z^2-xy+2}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{-4x^2+yz+1}{4x^2-yz+2}+\frac{-4y^2+xz+1}{4y^2-xz+2}+\frac{-4z^2+xy+1}{4z^2-xy+2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2yz-4x^2+xy+xz}{4x^2-yz+2}+\frac{2xz-4y^2+xy+yz}{4y^2-xz+2}+\frac{2xy-4z^2+xz+yz}{4z^2-xy+2}\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\frac{-\left(2x+z\right)\left(x-y\right)-\left(2x+y\right)\left(x-z\right)}{4x^2-yz+2}\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left(\left(x-y\right)\left(\frac{2y+z}{4y^2-xz+2}-\frac{2x+z}{4x^2-yz+2}\right)\right)\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left(\left(x-y\right)^2\left(\frac{z^2+6yz+6xz+8xy-4}{\left(4y^2-xz+2\right)\left(4x^2-yz+2\right)}\right)\right)\ge0\) *Đúng*

BĐT cuối đúng hay ta có ĐCPM

bạn có thể trình bày theo bdt cô si hay bunhia  được không

Ta có:

Tương tự ta có: \(\frac{1}{4y^2-zx+2}\ge zx;\frac{1}{4z^2-xy+2}\ge xy\)

Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức trên. ta được:

\(\frac{1}{4x^2-yz+2}+\frac{1}{4y^2-zx+2}+\frac{1}{4z^2-xy+2}\ge xy+yz+zx=1\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

\(3-2P=\frac{x}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{y}{y+2\sqrt{xz}}+\frac{z}{z+2\sqrt{xy}}\)

\(3-2P\ge\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=1\)

\(\Rightarrow2P\le2\Rightarrow P\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)

\(M\le\sqrt{\left(1+1\right)\left(x+y+2\right)}=\sqrt{20}=4\sqrt{5}\)

\(M_{max}=4\sqrt{5}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-2=y+4\\x+y=8\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=7\\y=1\end{matrix}\right.\)