Vì số n là số nguyên dương\(\Rightarrow\) n=2k hoacn=2k+1    (k\(\in\)N*)

Với n=2k \(\Rightarrow\) (5n+15)(n+6)=(10k+15)(2k+6)

                                        =10x2k²+10x6k+30k+80

                                        =10x2k²+10x6k+10x3k+10x8

                                        =10(2k²+6k+3k+8) chia hết cho 10

Với n=2k+1 \(\Rightarrow\) (5n+15)(n+6)=[10(k+1)+15](2k+1+6)     

                                            =(10k+10+15)(2k+7)

                                            =10x2kk+10x7k+10x2k+10x7+30k+105

                                            =10(2kk+7k+2k+7+2k)+105

Vì 10(2kk​+7k+2k+7+2k) chia hết cho 10 mà 2x105 chia hết cho 10 

​ \(\Rightarrow\) 105 chia hết cho 10

Vậy n là số nguyên dương thì (5n+15)(n+6) chia hết cho 10

Ta có: \(n^3+5n=n^3-n+6n=n\left(n^2-1\right)+6n=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+6n\)Vì n là số nguyên dương

=> Tích của ba số nguyên dương liên tiếp: n-1, n, n+1 chia hết cho 2 (vì trong 3 số trên chắc chắn có 1 hoặc 2 số lẻ) và chia hết cho 3 (vì trong 3 số trên chắc chắn có 1 số chia hết cho 3)

Mà 6n chia hết cho 6

=> n(n-1)(n+1) +6n chia hết cho 6

=> \(n^3+5n\) chia hết cho 6 (đpcm)

A = n3 – n (có nhân tử chung n)

= n(n2 – 1) (Xuất hiện HĐT (3))

= n(n – 1)(n + 1)

n – 1; n và n + 1 là ba số tự nhiên liên tiếp nên

+ Trong đó có ít nhất một số chẵn ⇒ (n – 1).n.(n + 1) ⋮ 2

+ Trong đó có ít nhất một số chia hết cho 3 ⇒ (n – 1).n.(n + 1) ⋮ 3

Vậy A ⋮ 2 và A ⋮ 3 nên A ⋮ 6.

\(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì \(n-1,n,n+1\) là 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2,1 số chia hết cho 3

Mà (2,3)=1\(\Rightarrow\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮2.3=6\)

Ta có:

n(n + 1)(n + 2)

= (n² + n)(n + 2)

= n³ + 2n² + n² + 2n

= n³ + 3n² + 2n

Mà n(n + 1)(n + 2) là tích của ba số nguyên liên tiếp (do n là số nguyên)

⇒ n(n + 1)(n + 2) ⋮ 3

⇒ (n³ + 3n² + 2) ⋮ 3

Ta có:

n³ + 11n

= n³ + 3n² + 2n - 3n² + 9n

= (n³ + 3n² + 2n) - 3n(n - 3)

Ta có:

3 ⋮ 3

⇒ 3n(n - 3) ⋮ 3 (với mọi n nguyên)

Mà (n³ + 3n² + 2n) ⋮ 3 (cmt)

⇒ [(n³ + 3n² + 2n) - 3n(n - 3)] ⋮ 3

Vậy (n³ + 11n) ⋮ 3 với mọi số nguyên n

n^3 + 5n

= n^3 - n + 6n

= n(n^2 - 1) + 6n 

= n(n - 1)(n + 1) + 6n

(n-1)n(n+1) là tích của  3 stn liên tiếp

=> n(n-1)(n+1) chia hết cho 2 và 3 mà (2;3) = 1

=> n(n-1)(n+1) chia hết cho 6

có 6n chia hết cho 6

=> n(n-1)(n+1) + 6n chia hết cho 6

=> n^3 + 5n chia hết cho 6 với mọi n thuộc N

\(a,n^5-5n^3+4n\)

\(=n\left(n^4-5n^2+4\right)\)

\(=n\left(n^4-n^2-4n^2+4\right)\)

\(=n\left[n^2\left(n^2-1\right)-4\left(n^2-4\right)\right]\)

\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2;3;4;5\)\(\Rightarrow\) \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮120\) Hay \(n^5-5n^3+4⋮120\)