BĐT tương đương vs

(\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\))^2\(\ge\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge ac+bd\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge\left(ac+bd\right)^2\)( BĐT bunyakovsky ) luôn đúng

\(\Rightarrow\) đpcm

\(\sqrt[3]{3x+1}+\sqrt[3]{5-x}+\sqrt[3]{2x-9}-\sqrt[3]{4x-3}=0\)

Đây nè @Võ Hồng Phúc(Phúc bím)

:33 Phương pháp SOS e chưa học và đọc :)) E làm các pp khác nhá anh :33

Cách 1 :Đặt : \(A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)

\(\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ac+bc}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)

Cách 2 : ( Kĩ thuật điểm rơi ) : Cộng 3 vào hai vế của BĐT rồi sử dụng AM - GM

Cách 3 : Nhân cả hai vế của BĐT với a+b+c

Cách 4 : Kĩ thuật đặt ẩn phụ ( Đặt a+b=x, b+c=y,c+a=z )

Dùng phương pháp SOS :

Ta có : \(\sum_{} \) \(\frac{a}{b+c}-\frac{3}{2}\)= \(\sum_{} \)\(\frac{\left(a-b\right)^2}{2\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\ge0\) (1)

Vì a,b,c dương nên BĐT (1) đúng.

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Cách của bạn Đạt mà một kiểu SOS!

Đây là một kiểu khác (Của tthnew:v) S.O.C - Kĩ thuật phân tích bình phương cho bdt hoán vị - Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Bất đẳng thức - Diễn đàn Toán học. Và dưới đây là một kiểu khác:

\(VT-VP=\frac{1}{4\left(a+b+c\right)}\left[\Sigma_{cyc}\frac{\left(b+c-2a\right)^2}{b+c}\right]\ge0\)

P/S : sư phụ em tuổi già sức yếu , cầm cây bút cũng viết không nổi :v

bài này mình nghĩ chắc giả sử á , cũng chưa thử ((: 

để tí hỏi sư phụ xem đã 

Rút bớt 2 vế đi rồi đặt ẩn phụ là ra:D

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

\(\sqrt{\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(ac+bc\right)^2}=ac+bc\)

CMTT : \(\sqrt{\left(a^2+d^2\right)\left(b^2+d^2\right)}\ge ad+bd\)

Ta có :\(\sqrt{\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+c^2\right)}+\sqrt{\left(a^2+d^2\right)\left(b^2+d^2\right)}\ge ac+bc+ad+bd=\left(a+b\right)\left(c+d\right)\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

(�2+�2)(�2+�2)≥(��+��)2=��+��(a2+c2)(b2+c2)​≥(ac+bc)2​=ac+bc

CMTT : (�2+�2)(�2+�2)≥��+��(a2+d2)(b2+d2)​≥ad+bd

Ta có :(�2+�2)(�2+�2)+(�2+�2)(�2+�2)≥��+��+��+��=(�+�)(�+�)(a2+c2)(b2+c2)​+(a2+d2)(b2+d2)​≥ac+bc+ad+bd=(a+b)(c+d)

a/ Bình phương 2 vế:

\(\frac{a+2\sqrt{ab}+b}{4}\le\frac{a+b}{2}\)

\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT được chứng minh

b/ Bình phương:

\(a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2}\ge a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2}\ge ac+bd\)

\(\Leftrightarrow a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\ge a^2c^2+b^2d^2+2abcd\)

\(\Leftrightarrow a^2d^2-2abcd+b^2c^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

khỏi cần

ta có \(A^2=2+2\sqrt{x\left(2-x\right)}\ge2\)

dấu = xảy ra khi x=4

nhanh hơn nhìu nha

Đây chắc là đăng cả lời giải để mấy bạn không biết làm chép luôn.Hay thật