x³ + y³ + 1 = 6xy

<=> (x + y)³ - 3xy(x + y) + 1 = 6xy

<=> (x + y)³ + 8 - 3xy(x + y + 2) = 7

<=> (x + y + 2)(x² - xy + y² + 2x + 2y + 4) = 7

Đến đây bạn tự giải tiếp

câu cuối là -2x-2y mà?

\(pt< =>\left(x-y\right)^2+xy=\left(x-y\right)\left(xy+2\right)+9\)

\(< =>\left(y-x\right)\left(xy+2+y-x\right)+xy+2+y-x-\left(y-x\right)=11\)

\(< =>\left(y-x+1\right)\left(xy+2+y-x\right)-\left(y-x+1\right)=10\)

\(< =>\left(x-y+1\right)\left(x-y-1-xy\right)=10\)

đến đây giải hơi bị khổ =))

Đáp án là D 

x³ - 6xy + y³ = 8

<=> (x + y)³ - 3xy(x + y) - 6xy + 8 = 16

<=> (x + y + 2)(x² + y² - xy - 2x - 2y + 4) = 16

<=> \(\left(x+y+2\right)\left[\left(x-\dfrac{1}{2}y-1\right)^2+3\left(\dfrac{1}{2}y-1\right)^2\right]=16\)

Nhận thấy \(\left(x-\dfrac{1}{2}y-1\right)^2+3\left(\dfrac{1}{2}y-1\right)^2\ge0\)

=> x + y + 2 > 0

Khi đó 16 = 1.16 = 2.8 = 4.4

Lập bảng 

 Đến đó bạn thế x qua y rồi làm tiếp nha

x 3 + 4 y = y 3 + 16 x 1 + y 2 = 5 ( 1 + x 2 ) ( 1 )

– Xét x = 0, hệ (I) trở thành  4 y = y 3 y 2 = 4 < = > y = ± 2

– Xét x ≠ 0, đặt  y x = t < = > y = x t . Hệ (I) trở thành

x 3 + 4 x t = x 3 t 3 + 16 x 1 + x 2 t 2 = 5 ( 1 + x 2 ) < = > x 3 ( t 3 − 1 ) = 4 x t − 16 x x 2 ( t 2 − 5 ) = 4 < = > x 3 ( t 3 − 1 ) = 4 x ( t − 4 ) ( 1 ) 4 = x 2 ( t 2 − 5 ) ( 2 )

Nhân từng vế của (1) và (2), ta được phương trình hệ quả

4 x 3 ( t 3 − 1 ) = 4 x 3 ( t − 4 ) ( t 2 − 5 ) < = > t 3 − 1 = t 3 − 4 t 2 − 5 t + 20     (Do x ≠ 0) <=>4t 2 + 5 t − 21 = 0 < = > t = − 3 t = 7 4

+ Với t = – 3, thay vào (2) được x² = 1 ⇔ x = ±1.

x = 1 thì y = –3, thử lại (1;–3) là một nghiệm của (I)

x = –1 thì y = 3, thử lại (–1;3) là một nghiệm của (I)

+ Với t = 7/4 , thay vào (2) được  x 2 = − 64 31 (loại)

Vậy hệ (I) có các nghiệm (0;2), (0;–2), (1;–3), (–1;3).

Ta có \(2y^2⋮2\Rightarrow x^2\equiv1\left(mod2\right)\Rightarrow x^2\equiv1\left(mod4\right)\Rightarrow2y^2⋮4\Rightarrow y⋮2\Rightarrow x^2\equiv5\left(mod8\right)\) (vô lí).

Vậy pt vô nghiệm nguyên.

2: \(PT\Leftrightarrow3x^3+6x^2-12x+8=0\Leftrightarrow4x^3=\left(x-2\right)^3\Leftrightarrow\sqrt[3]{4}x=x-2\Leftrightarrow x=\dfrac{-2}{\sqrt[3]{4}-1}\).

+, Nếu x = 0 => ko tồn tại y thuộc Z

+, Nếu x khác 0 => x^2 >= 1 => x^2-1 >= 0

Có : y^3 = x^3+2x^2+3x+2 > x^3 ( vì 2x^2+3x+2 > 0 )

Lại có : y^3 = (x^3+3x^3+3x+1)-(x^2-1) = (x+1)^3 - (x^2-1) < = (x+1)^3

=> x^3 < y^3 < = (x+1)^3

=> y^3 = (x+1)^3

=> x^2-1 = 0

=> x=-1 hoặc x=1

+, Với x=-1 thì y = 0

+, Với x=1 thì y = 2

Vậy .............

Tk mk nha

Ta có: \(x^3+2x^2+3x+2=y^3\)                             (1)

Xét \(2x^2+3x+2=2\left(x^2+\frac{3}{2}x\right)+2=2\left(x^2+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}\right)+2-2.\frac{9}{16}\)

\(=2\left(x+\frac{3}{4}\right)^2+\frac{7}{8}\) Vì \(\left(x+\frac{3}{4}\right)^2\ge0\Rightarrow2\left(x+\frac{3}{4}\right)^2+\frac{7}{8}\ge\frac{7}{8}>0\)

\(\Rightarrow y^3>x^3\Rightarrow y^3\ge\left(x+1\right)^3\)

\(\Rightarrow x^3+2x^2+3x+2\ge\left(x+1\right)^3\) \(\Rightarrow x^3+2x^2+3x+2\ge x^3+3x^2+3x+1\)

\(\Rightarrow x^3+3x^2+3x+1-x^3-2x^2-3x-2\le0\)

\(\Rightarrow x^2-1\le0\Rightarrow x^2\le1\) Vì \(x\in Z\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x^2=1\\x^2=0\end{cases}}\)

+ TH1: x² = 0 => x =0 Thay vào pt (1) ta được y³ = 2 (loại) vì y nguyên

+ TH2 : x² = 1 => \(\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-1\end{cases}}\)

Thay x=1 vào pt (1) ta đc: 1+2+3+2 = 8 = y³ => y = 2

Thay x= -1 vào pt (1) ta đc: -1 + 2 -3 +2 = 0 =y³ => y = 0

Vậy cặp (x;y) là (1;2) ; (-1;0).

\(Xét \(2x^2+3x+2=2\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{7}{16}>0\forall x\in R\) => \(x^3< y^3\left(1\right)\) (1) Giả sử : \(y^3< \left(x+2\right)^3\) \(\Leftrightarrow x^3+2x^2+3x+2< x^3+6x^2+12x+8\) \(\Leftrightarrow-4x^2-9x-6< 0\) \(\Leftrightarrow4x^2+9x+6>0\) \(\Leftrightarrow4\left(x+\dfrac{9}{8}\right)^2+\dfrac{15}{64}>0\) => Giả sử đúng . => \(y^3< \left(x+2\right)^3\left(2\right)\) Từ (1)(2) => \(y^3=\left(x+1\right)^3\) \(\Leftrightarrow x^3+2x^2+3x+2=x^3+3x^2+3x+1\) \(\Leftrightarrow x^2=1\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\) .) Khi \(x=1\Rightarrow y=2\). .) Khi \(x=-1\Rightarrow y=0\) Vậy nghiệm của pt ( x;y ) = {( 1;2 ) ; ( -1;0 )}\)