Chứng minh rằng với mọi n \(\in\) N, có m \(\in\) N (m, n \(\ne\) 0) sao cho
\(\left(\sqrt{2}-1\right)^n=\sqrt{m}-\sqrt{m-1}\)
Những câu hỏi liên quan
Pleft[dfrac{sqrt{n}left(sqrt{m}+sqrt{n}right)}{sqrt{n}-sqrt{m}}-sqrt{m}right]:left(dfrac{m}{sqrt{m.n}+n}+dfrac{n}{sqrt{m.n}-m}-dfrac{m+n}{sqrt{m.n}}right) với m0;n0;mne n
a. Rút gọn P
b. Tính giá trị của P biết m và n là 2 nghiệm của phương trình x^2-7x+40
c. Chứng minh: dfrac{1}{P} dfrac{1}{sqrt{m+n}}
Đọc tiếp
\(P=\left[\dfrac{\sqrt{n}\left(\sqrt{m}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n}-\sqrt{m}}-\sqrt{m}\right]:\left(\dfrac{m}{\sqrt{m.n}+n}+\dfrac{n}{\sqrt{m.n}-m}-\dfrac{m+n}{\sqrt{m.n}}\right)\) với \(m>0;n>0;m\ne n\)
a. Rút gọn P
b. Tính giá trị của P biết m và n là 2 nghiệm của phương trình \(x^2-7x+4=0\)
c. Chứng minh: \(\dfrac{1}{P}< \dfrac{1}{\sqrt{m+n}}\)
Cho biểu thức \(P=\left[\dfrac{\sqrt{n}\left(\sqrt{m}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n}-\sqrt{m}}-\sqrt{m}\right]:\left(\dfrac{m}{\sqrt{m.n}+n}+\dfrac{n}{\sqrt{m.n}-m}-\dfrac{m+n}{\sqrt{m.n}}\right)\) với m>0, n>0, m\(\ne\)n
a. Rút gọn biểu thức
b. CM \(\dfrac{1}{P}< \dfrac{1}{\sqrt{m+n}}\)
Cho biểu thức Pleft[dfrac{sqrt{n}left(sqrt{m}+sqrt{n}right)}{sqrt{n}-sqrt{m}}-sqrt{m}right]:left(dfrac{m}{sqrt{m.n}+n}+dfrac{n}{sqrt{m.n}-m}-dfrac{m+n}{sqrt{m.n}}right) với m0,n0,mne n
a. Rút gọn biểu thức P
b. Tính giá trị của P biết m và n là 2 nghiệm của phương trình: x^2-7x+40
c. CM: dfrac{1}{P} dfrac{1}{sqrt{m+n}}
Đọc tiếp
Cho biểu thức \(P=\left[\dfrac{\sqrt{n}\left(\sqrt{m}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n}-\sqrt{m}}-\sqrt{m}\right]:\left(\dfrac{m}{\sqrt{m.n}+n}+\dfrac{n}{\sqrt{m.n}-m}-\dfrac{m+n}{\sqrt{m.n}}\right)\) với \(m>0,n>0,m\ne n\)
a. Rút gọn biểu thức P
b. Tính giá trị của P biết m và n là 2 nghiệm của phương trình: \(x^2-7x+4=0\)
c. CM: \(\dfrac{1}{P}< \dfrac{1}{\sqrt{m+n}}\)
chứng minh \(m\sqrt[m]{a}+n\sqrt[n]{b}\ge\left(m+n\right)\sqrt[m+n]{ab}\) với a;b>0; 1\(\le\)m,n \(\in\)N
Chứng minh: \(|\frac{m}{n}-\sqrt{2}|\ge\frac{1}{n^2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}\) với mọi số nguyên dương m,n.
P=(\(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{x-\sqrt{x}}\)):\(\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{2}{x-1}\right)\)với x>0 và x≠1
a, Rút gọn P
b, Tìm x để P<2
c, Chứng mih với mọi m≠0, luôn có giá trị của x thoả mãn P=m
a) P=(\(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\) ) : (\(\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\) )
P=\(\frac{x-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}.\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}\)
P=\(\frac{x-1}{\sqrt{x}}\)
b) P<2 <=> \(\frac{x-1}{\sqrt{x}}\)<2 <=>
\(x-1< 2\sqrt{x}\\ < =>x^2-6x-1< 0\\ < =>\left(x-3\right)^2-8< 0\\ < =>\left(x-3\right)^2< 8\\ < =>x< 2\sqrt{2}+3\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho biểu thức \(f\left(x\right)=5^{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}}}\), với x>0. Biết rằng f(1).f(2)...f(2020) = \(5^{\dfrac{m}{n}}\) với m, n là các số nguyên dương và phân số m/n tối giản. Chứng minh m-n^2 = -1
\(\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}}=\sqrt{\dfrac{x^2+\left(x+1\right)^2+x^2\left(x+1\right)^2}{x^2\left(x+1\right)^2}}=\sqrt{\dfrac{x^2\left(x+1\right)^2+2x^2+2x+1}{x^2\left(x+1\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{\left(x^2+x\right)^2+2\left(x^2+x\right)+1}{\left(x^2+x\right)^2}}=\sqrt{\dfrac{\left(x^2+x+1\right)^2}{\left(x^2+x\right)^2}}=\dfrac{x^2+x+1}{x^2+x}\)
\(=1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}\)
\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)...f\left(2020\right)=5^{1+1-\dfrac{1}{2}+1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+1+\dfrac{1}{2020}-\dfrac{1}{2021}}\)
\(=5^{2021-\dfrac{1}{2021}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{m}{n}=2021-\dfrac{1}{2021}=\dfrac{2021^2-1}{2021}\)
\(\Rightarrow m-n^2=2021^2-1-2021^2=-1\)
Đúng 2
Bình luận (0)
Chứng minh: \(2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \dfrac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\) với \(n\ge2,n\in N\)
Ta có: \(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)
\(=\dfrac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}< \dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\dfrac{1}{2\sqrt{n}}\)
\(\Rightarrow2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \dfrac{1}{\sqrt{n}}\left(1\right)\)
Ta lại có: \(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=\dfrac{\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n-1}\right)}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}\)
\(=\dfrac{n-n+1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}>\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\dfrac{1}{2\sqrt{n}}\)
\(\Rightarrow2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)>\dfrac{1}{\sqrt{n}}\left(2\right)\)
\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \dfrac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)
Đúng 3
Bình luận (0)
\(\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}>\dfrac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\dfrac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}=2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(1\right)\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \dfrac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\dfrac{2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}{\left(\sqrt{n}+\sqrt{n-1}\right)\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\left(2\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\RightarrowĐpcm\)
Đúng 2
Bình luận (0)
Chứng mình rằng với mọi số nguyên dương n, ta có:
\(\frac{1}{2\sqrt{2}+1\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}}< 1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)