Cho x,y,z > 0 và x+y+z = 3 . Tìm GTNN của A =\(4x^2+6y^2+3z^2\)
Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = \(4x^2+6y^2+3z^2\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: \(\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{\left(\sqrt{6}\right)^2}+\frac{1}{\left(\sqrt{3}\right)^2}\right)\left(\left(2x\right)^2+\left(y\sqrt{6}\right)^2+\left(z\sqrt{3}\right)^2\right)\ge\)
\(\left(\frac{1}{2}.2x+\frac{1}{\sqrt{6}}.y\sqrt{6}+\frac{1}{\sqrt{3}}.z\sqrt{3}\right)^2=\left(x+y+z\right)^2=3^2=9\)
\(\Rightarrow\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}\right)\left(4x^2+6y^2+3z^2\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}A\ge9\Leftrightarrow A\ge12\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4x=6y=3z\\x+y+z=3\end{cases}\Leftrightarrow x=1,y=\frac{2}{3},z=\frac{4}{3}}\)
Áp dụng bđt svacxo: \(\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}+\frac{x_3^2}{y_3}\ge\frac{\left(x_1+x_2+x_3\right)^2}{y_1+y_2+y_3}\)(Dấu "=" xảy ra <=> \(\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=\frac{x_3}{y_3}\))
CM bđt đúng: Áp dụng bđt buniacopski
\(\left[\left(\frac{x_1}{\sqrt{y_1}}\right)^2+\left(\frac{x_2}{\sqrt{y_2}}\right)+\left(\frac{x_3}{\sqrt{y_3}}\right)\right]\left[\left(\sqrt{y_1}\right)^2+\left(\sqrt{y_2}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2\right]\)
\(\ge\left(\frac{x_1}{\sqrt{y_1}}+\sqrt{y_1}+\frac{x_2}{\sqrt{y_2}}+\frac{x_3}{\sqrt{y_3}}+\sqrt{y_2}+\frac{x_3}{y_3}\right)^2\)
<=> \(\left(\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}+\frac{x_3}{y_3}\right)\left(y_1+y_2+y_3\right)\) \(\ge\left(x_1+x_2+x_3\right)^2\)
Áp dụng bđt vaofA, ta có:
A = \(4x^2+6y^2+3z^2=\frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{\frac{1}{6}}+\frac{z_2}{\frac{1}{3}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}}=\frac{9}{\frac{3}{4}}=12\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{\frac{1}{4}}=\frac{y}{\frac{1}{6}}=\frac{z}{\frac{1}{3}}\\x+y+z=3\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=\frac{2}{3}\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)
Vậy MinA = 12 <=> x = 1; y = 2/3; z = 4/3
Tìm GTNN của các câu sau đây:
a) A=4x^2+y^2-12x+3y+5
b) B=x^2+9y^2+4x-6y-1
c) C= 25x^2+4y^2-10x-6y+3
d) D=x^2+y^2+z^2-x+2y+3z-1
b: Ta có: \(B=x^2+4x+9y^2-6y-1\)
\(=x^2+4x+4+9y^2-6y+1-6\)
\(=\left(x+2\right)^2+\left(3y-1\right)^2-6\ge-6\forall x,y\)
Dấu '=' xảy ra khi x=-2 và \(y=\dfrac{1}{3}\)
cho x,y,z>0 thỏa mãn \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{3}{z}=6\) và biểu thức \(P=x+y^2+z^3\).
a/. CM: \(P\ge x+2y+3z-3\)
b/. tìm GTNN của P
\(P+3=x+\left(y^2+1\right)+\left(z^3+1+1\right)\ge x+2y+3z\)
\(\Rightarrow P\ge x+2y+3z-3\)
\(6=\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{2y}+\dfrac{9}{3z}\ge\dfrac{\left(1+2+3\right)^2}{x+2y+3z}\)
\(\Rightarrow x+2y+3z\ge6\Rightarrow P\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
1.Cho a, b, c>0 và a+b+c=1. Tìm GTLN của P=\(a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}\)
2.Cho x, y>0 thỏa mãn:\(x^2+y^2=5\) Tìm GTNN của P=\(x^3+y^3\)
3. Cho x, y, z\(\ge\)0 và x+y+z=3. Tìm GTNN của P=\(x^4+2y^4+3z^4\)
Câu 2-Ta có x^2+y^2=5
(x+y)^2-2xy=5
Đặt x+y=S. xy=P
S^2-2P=5
P=(S^2-5)/2
Ta lại có P=x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=S^3-3SP=S^3-3S(S^2-5)/2
Rùi tự tính
Câu1
Ta có P<=a+a/4+b+a/12+b/3+4c/3 (theo bdt cô sy)
=> P<=4/3(a+b+c)=4/3
Vậy Max p =4/3 khi a=4b=16c
Bài 3: Tìm x,y,z biết
a) x : y : z =4: 3 :9 và x - 3y + 4z = 62
c) x : y : z = 1 : 2 : 3 và 4x - 3y + 2z = 36
e) x : y : z = 2 : 3 : 4 và x + 2y - 3z = -20
g) x : y : (- z ) = 3 : 8 : 5 và 4x + 3y + 2z = 52
i) x : y : z = 3 : 5 : (-2) và 5x - y + 3z = 124
`#3107.101117`
a)
`x \div y \div z = 4 \div 3 \div 9`
`=> x/4 = y/3 = z/9`
`=> x/4 = (3y)/9 = (4z)/36`
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
`x/4 = (3y)/9 = (2z)/8 = (x - 3y + 4z)/(4 - 9 + 36) = 62/31 = 2`
`=> x/4 = y/3 = z/9 = 2`
`=> x = 4*2 = 8` $\\$ `y = 3*2 = 6` $\\$ `z = 9*2 = 18`
Vậy, `x = 8; y = 6; z = 18`
c)
\(x \div y \div z = 1 \div 2 \div 3\)
`=> x/1 = y/2 = z/3`
`=> (4x)/4 = (3y)/6 = (2z)/6`
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
`(4x)/4 = (3y)/6 = (2z)/6 = (4x - 3y + 2z)/(4 - 6 + 6) = 36/4 = 9`
`=> x/1 = y/2 = z/3 = 9`
`=> x = 1*9=9` $\\$ `y = 2*9 = 18` $\\$ `z = 3*9 = 27`
Vậy, `x = 9; y = 18; z = 27`
Các câu còn lại cậu làm tương tự nhé.
Tìm, x ,y z biết:
a) x,y,z tỉ lệ nghịch với 3,5,7 và 2x-y+3z=188
b) \( \frac{2x-3}{5}= \frac{3y+2}{7}=\frac{z-1}{3}\) và 4x-6y+7z=68
a, \(3x=5y=7z\Rightarrow\frac{x}{\frac{1}{3}}=\frac{y}{\frac{1}{5}}=\frac{z}{\frac{1}{7}}\)
\(\Rightarrow\frac{2x}{\frac{2}{3}}=\frac{y}{\frac{1}{5}}=\frac{3z}{\frac{3}{7}}\)
Áp dụng t/c
\(\Rightarrow\frac{2x}{\frac{2}{3}}=\frac{y}{\frac{1}{5}}=\frac{3z}{\frac{3}{7}}=\frac{2x-y+3z}{\frac{2}{3}-\frac{1}{5}+\frac{3}{7}}=\frac{188}{\frac{105}{94}}=210\)
\(\frac{x}{\frac{1}{3}}=210\Rightarrow x=70\)
\(\frac{y}{\frac{1}{5}}=210\Rightarrow y=42\)
\(\frac{z}{\frac{1}{7}}=210\Rightarrow z=30\)
Cho x,y,z>0 sao cho x+y+z=5. Tìm gtnn của A=\(\dfrac{4x}{y^2+4}+\dfrac{4y}{z^2+4}+\dfrac{4z}{x^2+4}\)
Cho x,y,z>0 sao cho x+y+z=5. Tìm gtnn của A=\(\dfrac{4x}{y^2+4}+\dfrac{4y}{z^2+4}+\dfrac{4z}{x^2+4}\)
1CMR: \(\left(2n-1\right)^3-\left(2n-1\right)\) chia hết cho 8 với mọi n thuộc z
2a) Tìm GTNN của A=\(x^2+4x+5\)
b)Tìm x,y biết : \(x^2+y^2-4x+6y+13=0\)
2 a) x2 + 4x + 5
= x2 + 2.x.2 + 22 + 1
=(x + 2)2 +1
vì (x + 2)2 lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x
suy ra A luôn lớn hơn hoặc bằng 1
dấu '=' xảy ra khi x+2=0 suy ra x=-2
vậy GTNN của A là 1 khi x= -2
b)x2 + y2 - 4x +6y +13=0
(x2 - 4x +4)+(y2 + 6y +9)=0
(x-2)2 + (y+3)2 =0
vì (x - 2)2 lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x
(y+3)2 lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi y
nên để (x-2)2 + (y+3)2 =0
thì x-2=0 và y+3=0
x=2; y= -3