a) AM là đường phân giác \(\widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)\(\Rightarrow\widebat{BM}=\widebat{CM}\)

=> M là điểm chính giữa cung BC

=> OM _|_ BC (đpcm)

b) AN là phân giác \(\widehat{CAt}\)

=> \(\widehat{tAN}=\widehat{NAC}\)mà \(\widehat{tAN}=\widehat{NCB}\)(Tứ giác ANCB nội tiếp)

                                    và \(\widehat{NAC}=\widehat{NMC}\)(tứ gics ANCB nội tiếp)

=> \(\widehat{NCB}=\widehat{NMC}\)

Xét tam giác NCD và tam giác NMC có:

\(\widehat{MNC}\)chung

\(\widehat{NCB}=\widehat{NMC}\left(cmt\right)\)

=> Tam giác NCD đồng dạng với tam giác NMC (g.g)

=> \(\widehat{NCM}=\widehat{NDC}\)mà \(\widehat{NDC}=90^o\)và \(\widehat{NCM}=90^o\)

=> NC _|_ CM

Xét tam giác NCM nội tiếp có NC _|_ CM

=> NM là đường kính

=> N,O,M thẳng hàng

c) Tam giác MAN nội tiếp đường kín MN

=> AM _|_ AN => Tam giác KAD vuông tại A

Xét tam giác KAD vuông tại A có AI là đường trung bình

=> AI=ID

=> Tam giác AID cân tại A

=> \(\widehat{IAD}=\widehat{IDA}\)(tính chất tam giác cân) hay \(\widehat{IAB}+\widehat{BAD}=\widehat{IDA}\)

Lại có \(\widehat{DAC}+\widehat{DCA}=\widehat{IDA}\)(tính chất góc ngoài)

\(\Rightarrow\widehat{IAB}+\widehat{BAD}=\widehat{DAC}+\widehat{DCA}\)

mà \(\widehat{BAD}=\widehat{DAC}\)(AD là phân giác) => \(\widehat{IAB}=\widehat{DCA}\)

mà 2 góc này nằm ở vị trí góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

=> IA là tiếp tuyến của (O) 

a) Có ^AO₁O₂ = ^AO₁M/2 = 1/2.Sđ(AM của (O₁) = ^ABM = ^ABC. Tương tự ^AO₂O₁ = ^ACB

Suy ra \(\Delta\)AO₁O₂ ~ \(\Delta\)ABC (g.g) (đpcm).

b) Từ câu a ta có \(\Delta\)AO₁O₂ ~ \(\Delta\)ABC. Hai tam giác này có đường trung tuyến tương ứng AO,AI

Khi đó \(\Delta\)AOO₁ ~ \(\Delta\)AIB (c.g.c) => \(\frac{AO}{AO_1}=\frac{AI}{AB}\). Đồng thời ^OAI = ^O₁AB 

=> \(\Delta\)AOI ~ \(\Delta\)AO₁B (c.g.c). Mà \(\Delta\)AO₁B cân tại O₁ nên \(\Delta\)AOI cân tại O (đpcm).

c) Xét đường tròn (O₁): ^DAM nội tiếp, ^DAM = 90⁰ => DM là đường kính của (O₁)

=> ^DBM = 90⁰ => DB vuông góc với BC. Tương tự EC vuông góc với BC

Do vậy BD // MN // CE. Bằng hệ quả ĐL Thales, dễ suy ra \(\frac{ND}{NE}=\frac{MB}{MC}\)(1)

Áp dụng ĐL đường phân giác trong tam giác ta có \(\frac{MB}{MC}=\frac{AB}{AC}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{ND}{NE}=\frac{AB}{AC}\)=> ND.AC = NE.AB (đpcm).

a) Do AB là tiếp tuyến của đường tròn tại B nên theo đúng định nghĩa, ta có \(OB\perp BA\Rightarrow\widehat{OBA}=90^o\)

Vậy tam giác ABO vuông tại B.

Xét tam giác vuông OAB, áp dụng định lý Pi-ta-go ta có : 

\(AB=\sqrt{OA^2-OB^2}=\sqrt{4R^2-R^2}=R\sqrt{3}\)

b) Ta có BC là dây cung, \(OH\perp BC\) 

Tam giác cân OBC có OH là đường cao nên nó cũng là tia phân giác góc COB.

Xét tam giác OCA và OBA có: 

OC = OB ( = R)

OA chung

\(\widehat{COA}=\widehat{BOA}\) (cmt)

\(\Rightarrow\Delta OCA=\Delta OBA\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{OCA}=\widehat{OBA}=90^o\). Vậy CA là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C.

c) Ta có BC là dây cung, OH vuông góc BC nên theo tính chất đường kính dây cung ta có H là trung điểm BC.

Xét tam giác vuông OBA có BH là đường cao nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

\(HB.OA=OB.BA\Rightarrow HB=\frac{R.R\sqrt{3}}{2R}=\frac{R\sqrt{3}}{2}\)

Vậy thì BC = 2HB = \(R\sqrt{3}\)

Do \(\Delta OCA=\Delta OBA\Rightarrow CA=BA\)

Xét tam giác ABC có \(AB=BC=CA=R\sqrt{3}\) nên nó là tam giác đều.

d) Gọi G là trung điểm của CA; J là giao điểm của AE và HD, F' là giao điểm của AE và OB

Ta cần chứng minh F' trùng F.

Dễ thấy HD // OB; HG // AB mà \(AB\perp OB\Rightarrow HD\perp GH\) hay D là tiếp tuyến của đường tròn tại H.

Từ đó ta có : \(\widehat{EHJ}=\widehat{EAJ}\)  

Vậy thì \(\Delta HEJ\sim\Delta AHJ\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{EJ}{HJ}=\frac{HJ}{AJ}\Rightarrow HJ^2=EJ.AJ\)

Xét tam giác vuông JDA có DE là đường cao nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

\(JD^2=JE.JA\)

Vậy nên HJ = JD.

Áp dụng định lý Ta let trong tam giác OAB ta có:

Do HD // OB nên \(\frac{HJ}{OF'}=\frac{JD}{F'B}\left(=\frac{AJ}{AF'}\right)\)

Mà HJ = JD nên OF' = F'B hay F' là trung điểm OB. Vậy F' trùng F.

Từ đó ta có A, E, F thẳng hàng.

dài vậy 😅😅😅

hông hỉu😆😆

a) Xét tam giác DAB và tam giác DAC có :

ABD = ACD ( = 90⁰ )

AD chung

AB = AC ( gt )

=> tam giác DAB = tam giác DAC ( ch - cgv )

=> đpcm

b) Vì tam giác DAB = tam giác DAC ( chứng minh câu a )

=> BD = CD ( 2 cạnh tương ứng )

=> tam giác BDC cân tại D ( đpcm )

c) Ta có :

+) AB = AC => A thuộc đường trung trực của BC (1)

+) BM = MC => M thuộc đường trung trực của BC (2)

+) BD = CD => D thuộc đường trung trực của BC (3)

Từ (1),(2) và (3) => A, M, D thẳng hàng ( đpcm )

*Link ảnh(nếu như olm không hiện):Ảnh - by tth

a) Xét tam giác DAB và tam giác DAC có:

AB = AC (gt)

AD (cạnh chung - cũng là cạnh huyền)

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACD}\left(=90^o\right)\) (gt)

Do vậy \(\Delta DAB=\Delta DAC\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

b) \(\Delta DAB=\Delta DAC\) nên BD = CD (hai cạnh tương ứng)

Do đó \(\Delta DBC\) cân (tại D)

c) Bạn Trần Phương  đã làm =))