Do \(0< \sin A,\cos A< 1\) (vì tam giác ABC có 3 góc nhọn) nên ta có điều dưới đây:

\(\sin A>\sin^2A\)

\(\cos A>\cos^2A\)

\(\Rightarrow\sin A+\cos A>\sin^2A+\cos^2A=1\)

a) Do tam giác AEB vuông cân tại A nên \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{EAB}=90^o\\AE=AB\end{matrix}\right.\)

Ta thấy \(\widehat{MEA}=\widehat{BAH}\) vì chúng cùng phụ với \(\widehat{EAM}\)

Xét 2 tam giác HAB vuông tại H và MEA vuông tại M, ta có:

\(AE=AB\left(cmt\right),\widehat{MEA}=\widehat{BAH}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta HAB=\Delta MEA\left(ch-gn\right)\) \(\Rightarrow AH=ME\)     (1)

Tương tự, ta cũng có \(\Delta HAC=\Delta NFA\Rightarrow HC=AN\)     (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(EM+HC=AH+AN\) hay \(EM+HC=HN\) (đpcm)

b) Từ \(\Delta HAC=\Delta NFA\Rightarrow AH=NF\)

Từ đó suy ra \(ME=NF\left(=AH\right)\)

Xét tam giác MNE và NMF, ta có:

\(ME=NF\left(cmt\right),\widehat{EMN}=\widehat{FNM}\left(=90^o\right)\), MN là cạnh chung.

\(\Rightarrow\Delta MNE=\Delta NMF\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ENM}=\widehat{FMN}\) \(\Rightarrow\) EN//FM (2 góc so le trong bằng nhau)

Ta có đpcm.

mọi người giúp em với ạ em cần gấp

.

Lời giải:

a)

Theo tính chất tiếp tuyến thì

$OB\perp BD,OC\perp CD\Rightarrow \angle OBD=\angle OCD={}^{}$

$\Rightarrow \angle OBD+\angle OCD={}^{}$

Do đó tứ giác $OBDC$ nội tiếp.

b) Vì $ID\parallel AB$ nên $\angle CID=\angle CAB\left(1\right)$ (hai góc đồng vị)

Mặt khác theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta dễ thấy $OD$ là đường phân giác của góc $\angle BOC$

Do đó: $\angle DOC=\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{1}{2}\text{cung BC}=\angle CAB\left(2\right)$

Từ $\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow \angle$

 ta có (sinA + cosA )*2 = sinA*2+cosA *2 + 2sinAcosA = 1+ 2sinAcosA > 1 .

Vì A là gọc nhọn nên sinA hay CosA > 0 ,

a: góc BHD+góc BMD=180 độ

=>BHDM nội tiếp

b: BHDM nội tiếp

=>góc HDM+góc HBM=180 độ

=>góc ADM=góc ABC

=>góc ADM=góc ADC

=>DA là phân giáccủa góc MDC

c: Xét tứ giác DHNC có

góc DHC=góc DNC=90 độ

=>DHNC nội tiếp

=>góc NHD=góc NDC

góc NHD+góc MHD

=180 độ-góc NCD+góc MBD

=180  độ+180 độ-góc ABD-góc ACD

=180 độ

=>M,H,N thẳng hàng

a) Kẻ đg cao BD của ΔABC

+ \(sinA+cosA=\frac{BD}{AB}+\frac{AD}{AB}=\frac{BD+AD}{AB}>1\)

b) \(AH.\left(cotB+cotC\right)=AH\left(\frac{BH}{AH}+\frac{CH}{AH}\right)\)

\(=AH\cdot\frac{BH+CH}{AH}=BC\)

c) + \(BC=AH\cdot\left(cotB+cotC\right)=6\cdot\left(cot60^o+cot45^o\right)\)

\(=6\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{3}}+1\right)=2\sqrt{3}+6\)

Diện tích ΔABC là :

\(\frac{1}{2}\cdot AH\cdot BC=3\cdot\left(2\sqrt{3}+6\right)=6\sqrt{3}+18\approx28.39\left(cm^2\right)\)