\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{x^2y^2z^2}\)(1) với x+y+z=0. Bạn quy đồng vế trái (1) dc \(\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{x^2y^2z^2}=\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2-2\left(x+y+z\right)xyz}{x^2y^2z^2}\)

Bài 1:

Ta có: \(\frac{ab}{a+b}=ab.\frac{1}{a+b}\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{b}{4}+\frac{a}{4}\)

Tương tự các BĐT còn lại rồi cộng theo vế ta có d9pcm.

Bài 2: 2 bài đều dùng Svac cả!

Bài 2a làm bên h rồi nên chụp lại thôi!

 (cần thì ib t gửi link cho)

Chú thích cho you hiểu: Ở bài 1:

Chúng ta biết rằng: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Rightarrow\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{1}{a+b}\)

\(\Rightarrow\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{ab}{a+b}\) thế thôi!

Bớt 6 ở hai vế BĐT cần chứng minh tương đương:

\(\frac{\left(8c-a-b\right)\left(a-b\right)^2+\left(a+b\right)\left(a+b-2c\right)^2}{4abc}\le\frac{\left(7a+7b-2c\right)\left(a-b\right)^2+\left(a+b+2c\right)\left(a+b-2c\right)^2}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2\left[\frac{7a+7b-2c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}-\frac{8c-a-b}{2abc}\right]+\frac{1}{2}\left(a+b-2c\right)^2\left[\frac{a+b+2c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}-\frac{a+b}{2abc}\right]\ge0\)

Tới phần khó chừa lại cho bạn:V

mk ko bt 123

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{ab\left(a+b\right)}\ge\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\)bài1

a) ta có \(\left(a-b\right)^2\ge0\) với mọi a,b\(\in\)N*

=> \(a^2-2ab+b^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}\ge2\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

b) tương tự ta có \(a^2+b^2\ge2ab\)

\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\)(do a,b\(\in\)N*)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)

bài 2 chịu

Bài 2:

=> \(\frac{1}{\left[a.b\right]}+\frac{1}{\left[b,c\right]}+\frac{1}{\left[c,a\right]}=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)

Do a,b,c là các số nguyên tố khác nhau

=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\le\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.2}=\frac{1}{3}\)

=> đpcm

Đặt \(x=1-a\), \(y=1-b\), \(z=1-c\)

Ta có :  \(1+a=\left(1-b\right)+\left(1-c\right)=y+z\) 

\(1+b=\left(1-a\right)+\left(1-c\right)=x+z\)

\(1+c=\left(1-a\right)+\left(1-b\right)=x+y\)

Áp dụng bđt Cauchy, ta có : \(A=\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz}\ge\frac{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}}{xyz}=\frac{8xyz}{xyz}=8\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

Vậy Min A = 8 \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

a)Quy đồng hết lên:v

\(=\frac{ab\left(a-b\right)+bc\left(b-c\right)+ca\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(=\frac{ab\left(a-b\right)-bc\left(a-b+c-a\right)+ca\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(=\frac{\left(a-b\right)\left(ab-bc\right)+\left(c-a\right)\left(ca-bc\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(=\frac{b\left(a-b\right)\left(a-c\right)-c\left(a-c\right)\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\) (tắt xíu, ráng hiểu:v)

\(=\frac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=-\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=-1\) (đpcm)

b)(sai thì thôi, cái chỗ đẳng thức xảy ra ý) Đặt \(\frac{a}{b-c}=x;\frac{b}{c-a}=y;\frac{c}{a-b}=z\) (cho nó gọn, viết cho nó lẹ:v) theo câu a) suy ra \(xy+yz+zx=-1\) => \(2xy+2yz+2zx=-2\)

Ta cần chứng minh \(x^2+y^2+z^2\ge2\). Thêm 2xy + 2yz +2zx vào hai vế ta cần chứng minh:

\(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\ge2+2xy+2yz+2zx\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge2-2=0\) (luôn đúng)

Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi \(x+y+z=0\)

Áp dụng Holder:

\(24VT=\left(1+1+1+1+1+1\right)\left(a^3+a^3+c^3+c^3+b^3+b^3\right)\left(\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{c^3}\right)\ge\left(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\right)^3\)

Mà \(\left(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\right)^2\ge36\)( AM-GM)

\(24VT\ge36\left(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\right)\Leftrightarrow VT\ge VF\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c . 

P/s: BĐT holder: \(\left(a_1^n+a^n_2+...a_3^n\right)\left(b_1^n+b_2^n+...b_n^n\right)...\left(z_1^n+z_2^n+...z_n^n\right)\ge\left(a_1.b_1..z_1+a_2.b_2..z_2+...+a_n.b_n.z_n\right)^n\)